Question

以下是正弦函數(shù)的定義：
在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)α的終邊上任意一點P的坐標(biāo)是（x，y），它與原點的距離是r （r＞0），比值

y

r

叫做α的正弦，記作sinα，即sinα=

y

r

；
請使用此定義，證明：（1）正弦函數(shù)的值域為[-1，1]；（2）函數(shù)f（α）=sinα是奇函數(shù)．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)α的終邊沒有落在坐標(biāo)軸上時，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)斜邊大于直角邊，即r＞|y|，當(dāng)α的終邊落在x軸上時，y=0，當(dāng)α的終邊落在y軸上時，|y|=r，進(jìn)而得到正弦函數(shù)的值域為[-1，1]．
（2）由題意可得：函數(shù)f（α）=sinα的定義域為：R，并且得到f（-α）=

-y

r

=-sinα=-f（α），進(jìn)而得到此函數(shù)為奇函數(shù)．

解答：解：（1）當(dāng)α的終邊沒有落在坐標(biāo)軸上時，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)斜邊大于直角邊，即r＞|y|，
所以|

y

r

|＜1，并且|

y

r

|≠0，
當(dāng)α的終邊落在x軸上時，y=0，此時|

y

r

|=0，
當(dāng)α的終邊落在y軸上時，|y|=r，此時|

y

r

|=1，
所以|

y

r

|≤1，即正弦函數(shù)的值域為[-1，1]．
（2）由題意可得：函數(shù)f（α）=sinα的定義域為：R，
又因為f（-α）=

-y

r

=-sinα=-f（α），即f（-α）=-f（α），
所以函數(shù)f（α）=sinα是奇函數(shù)．

點評：此題主要考查正弦函數(shù)的定義與有關(guān)的性質(zhì)，以及考查奇函數(shù)的定義，并且能夠利用定義證明函數(shù)的奇偶性．