Question

設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=（x²-ax-a）e^x．
（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[-2，2]上的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)令x的值為0代入其中得到f'（0）=-2即切線方程的斜率為-2，而f（0）=-a，當(dāng)a為1時(shí)f（0）=-1，即求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，-1）處的切線方程寫出即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)并令其為零求出函數(shù)的駐點(diǎn)，在[-2，2]內(nèi)討論函數(shù)的增減性求出函數(shù)的極值，判斷大小求出函數(shù)的最小值即可．
解答：解：（Ⅰ）f'（x）=（2x-a）e^x+（x²-ax-a）e^x=（x+2）（x-a）e^x．
當(dāng)a=1時(shí)，f'（0）=-2，f（0）=-1，
所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y-（-1）=-2x，
即2x+y+1=0．
（Ⅱ）令f'（x）=0，解得x=-2或x=a．
①a≥2，則當(dāng)x∈（-2，2）時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）在（-2，2）上單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，最小值為f（2）=（4-3a）e²．
②-2＜a＜2，則當(dāng)x∈（-2，2）時(shí)，
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

所以，當(dāng)x=a時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，最小值為f（a）=-a•e^a．
③a≤-2，則當(dāng)x∈（-2，2）時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在（-2，2）上單調(diào)遞增，
所以，當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值，最小值為f（-2）=（4+a）e^-2．
綜上，當(dāng)a≤-2時(shí)，f（x）的最小值為（4+a）e^-2；當(dāng)-2＜a＜2時(shí)，f（x）的最小值為-a•e^a；
當(dāng)a≥2時(shí)，f（x）的最小值為（4-3a）e²．
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的能力，以及利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程的能力．