Question

5．在極坐標系中，曲線L的極坐標方程為：7cos${\;}^{2}θ=\frac{144}{{ρ}^{2}}-9$，以極點為原點，極軸為x的非負半軸，取與極坐標系相同的單位長度，建立平面直角坐標系，在直角坐標系中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=7+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（1）在直角坐標系中，寫出曲線L的一個參數(shù)方程和直線l的普通方程；
（2）在曲線L上任取一點P，求點P到直線l距離的最小值，并求此時點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）先求出曲線L的直角坐標方程，再求出曲線L的一個參數(shù)方程，消去參數(shù)可得直線l的普通方程；
（2）由（1）知曲線L的一個參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=4sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），可得曲線L上的點到直線l距離d=$\frac{|3cosθ+4sinθ-10|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|10-5sin（θ+α）|}{\sqrt{2}}$（sinα=$\frac{3}{5}$，cosα=$\frac{4}{5}$），即可得出結論．

解答 解：（1）方程 7cos${\;}^{2}θ=\frac{144}{{ρ}^{2}}-9$ 可化為7ρ²cos²θ=144-9ρ²，--------（1分）
所以，曲線L的直角坐標方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{16}$=1----------------（2分）
曲線L的一個參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=4sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）-----------------（3分）
直線l的普通方程為x+y-10=0----------------------（4分）
（2）由（1）知曲線L的一個參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=4sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）
所以，曲線L上的點到直線l距離d=$\frac{|3cosθ+4sinθ-10|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|10-5sin（θ+α）|}{\sqrt{2}}$（sinα=$\frac{3}{5}$，cosα=$\frac{4}{5}$）--------（7分）
當sin（θ+α）=1時曲線L上的點到直線l距離最小，最小值為$\frac{5\sqrt{2}}{2}$--------（8分）
此時P點直角坐標為（$\frac{9}{5}$，$\frac{16}{5}$）------------------------（10分）

點評 本題主要考查坐標系和參數(shù)方程的應用，利用此時方程和極坐標與普通方程的關系進行轉化是解決本題的關鍵．