Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD的頂點B、D、P分別在空間直角坐標系的坐標軸上，頂點A與原點重合；底面ABCD中，AB⊥BC，且BC=PA=3，AD=y；三棱錐P-ABC的體積為5．
（Ⅰ）求面PDC的一個法向量（用y表示）；
（Ⅱ）當二面角C-PD-A為直二面角時，求PB與面PDC所成的角的正弦值；
（Ⅲ）當二面角C-PD-A的余弦值為-

3

7

時，試探求AD的長．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,平面的法向量,直線與平面所成的角

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知求出AB=

10

3

，從而

PC

=(

10

3

，3，-3)，

PD

=（0，y，-3），由此能求出平面PCD的法向量．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面PCD的法向量

n

=（

9

10

-

27

10y

，

3

y

，1），又平面PAD的法向量

m

=（1，0，0），由此能求出二面角C-PD-A為直二面角時，PB與面PDC所成的角的正弦值．
（Ⅲ）由已知得-|cos＜

m

，

n

＞|=-|

9 10 - 27 10y

( 9 10 - 27 10y )2+( 3 y )2+12

|=-

3

7

，由此能求出AD的長．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得

1

3

×

1

2

×AB×3×3=5，解得AB=

10

3

，
∴P（0，0，3），C（

10

3

，3，0），D（0，y，0），

PC

=(

10

3

，3，-3)，

PD

=（0，y，-3），
設平面PCD的法向量

n

=（a，b，c），
則

n • PC = 10 3 a+3b-3c=0 n • PD =yb-3c=0

，
取c=1，得

n

=（

9

10

-

27

10y

，

3

y

，1）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面PCD的法向量

n

=（

9

10

-

27

10y

，

3

y

，1），
又平面PAD的法向量

m

=（1，0，0），
∵二面角C-PD-A為直二面角時，
∴

m

•

n

=

9

10

-

27

10y

=0，解得y=3，即AD=3，

n

=（0，1，1），
由B（3，0，0），得

PB

=（3，0，-3），
設PB與面PDC所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜

PB

，

n

＞|=|

-3

2 ×3 2

|=

1

2

，
∴PB與面PDC所成的角的正弦值為

1

2

．
（Ⅲ）由（Ⅰ）得平面PCD的法向量

n

=（

9

10

-

27

10y

，

3

y

，1），
又平面PAD的法向量

m

=（1，0，0），
∵二面角C-PD-A的余弦值為-

3

7

，
∴-|cos＜

m

，

n

＞|=-|

9 10 - 27 10y

( 9 10 - 27 10y )2+( 3 y )2+12

|=-

3

7

，
解得y=

39

18- 155

，或y=

39

18+ 155

，
∴AD=

39

18- 155

，或AD=

39

18+ 155

．

點評：本題考查平面的法向量的求法，考查線面角的正弦值的求法，考查線段長的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．