Question

（1）試求i¹，i²，i³，i⁴，i⁵，i⁶，i⁷，i⁸的值；
（2）由（1）推測iⁿ（n∈N^*）的值有什么規(guī)律，并用式子表示出來．
（3）計算：i²⁰¹²的值．

Answer 1

解：（1）i¹=i，i²=-1，i³=i²•i=-i；i⁴=（i²）²=（-1）²=1，i⁵=i⁴•i=i，i⁶=（i²）³=（-1）³=-1，i⁷=i⁶•i=-i，i⁸=（i⁴）²=1，…
（2））∵i¹=i，i²=-1，i³=i²•i=-i；i⁴=（i²）²=（-1）²=1，
從n=1開始，4個一次循環(huán)．
∴i⁴ⁿ=1，i⁴ⁿ⁺¹=i，i⁴ⁿ⁺²=-1，i⁴ⁿ⁺³=-i（n為自然數(shù)），
（3）由于2012=4×503，
∴i²⁰¹²的值=1．
分析：（1）根據(jù)虛數(shù)單位的規(guī)律性即可求解；
（2）根據(jù)所給例子找出規(guī)律，再把所求式子與已知相聯(lián)系即可得出答案．
（3）由（2）得出的規(guī)律進(jìn)行求解即可．
點評：本題是信息給予題，主要考查了冪的乘方的性質(zhì)，讀懂題目信息并正確利用性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．