Question

（13分）已知F₁、F₂是橢圓c₁：(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，A為右頂點(diǎn)，P為橢圓c₁上任意一點(diǎn)，且最大值的取值范圍是[c²,3c²]，c²=a²-b².（1）求橢圓c₁離心率e的取值范圍；（2）設(shè)雙曲線c₂以橢圓c₁焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，B是雙曲線c₂在第一象限上任意一點(diǎn)，當(dāng)橢圓c₁離心率e取得最小值時(shí)，問是否存在正常數(shù)λ使∠BAF₁=λ∠BF₁A恒成立？若存在，求出λ值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（1）（2）λ=2

解析:

（1）設(shè)P(x,y)，則，.∴，將代入得，0≤x²≤a²，當(dāng)x²=a²時(shí)得，又c²≤b²≤3c²，即c²≤a²-c²≤3c²，∴.∴.

（2）當(dāng)時(shí)，a=2c，b=，∴，A(2c,0).設(shè)B(x₀,y₀),(x₀,y₀>0)，則，當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，則，∴，故.由此猜想λ=2可使總成立，證明如下：

  當(dāng)x₀≠2c時(shí)，，，∴,

將代入得.

又∵2∠BF₁A與∠BAF₁同在區(qū)間(0,)∪()內(nèi)，∴2∠BF₁A=∠BAF₁.

故存在λ=2，使恒成立.