Question

16．已知函數f（x）=x³+x．
（1）求函數g（x）=f（x）-4x的單調區(qū)間；
（2）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線l與坐標軸圍成的三角形的面積；
（3）若函數F（x）=f（x）-ax²在（0，3]上遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區(qū)間即可；
（2）求出函數的導數，計算f（1），f′（1）的值，求出切線方程，求出三角形的面積即可；
（3）問題轉化為2a≤（3x+$\frac{1}{x}$）_min，根據不等式的性質求出a的范圍即可．

解答 解：（1）g（x）=x³-3x，g′（x）=3（x+1）（x-1），
令g′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-1，
令g′（x）＜0，解得：-1＜x＜1，
故g（x）在（-∞，-1）遞增，在（-1，1）遞減，在（1，+∞）遞增；
（2）f′（x）=3x²+1，f（1）=2，f′（1）=4，
故切線方程是：y-2=4（x-1），即y=4x-2，
令x=0，解得：y=-2，令y=0，解得：x=$\frac{1}{2}$，
故S_△=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$；
（3）由題意得F′（x）=3x²+1-2ax≥0在（0，3]恒成立，
故2a≤（3x+$\frac{1}{x}$）_min，
∵3x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{3}$，∴2a≤2$\sqrt{3}$，a≤$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及轉化思想，考查切線方程問題，是一道中檔題．