已知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,離心率為2,F(xiàn)1、F2為左、右焦點(diǎn).P為雙曲線上一點(diǎn),且∠F1PF2=60°,S△PF1F2=12,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
解:如圖,設(shè)雙曲線方程為=1(a>0,b>0). 因?yàn)閑==2,所以c=2a. 由雙曲線的定義||PF1|-|PF2||=2a=c, 在△PF1F2中,由余弦定理,得 |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60° �。�(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1||PF2|(1-cos60°), 即4c2=c2+|PF1||PF2|.① 又=12, 所以|PF1||PF2|sin60°=12, 即|PF1||PF2|=48.② 由①②,得c2=16,c=4,則a=2,b2=c2-a2=12. 所以所求的雙曲線方程為=1. 解析:要求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,可設(shè)出方程=1.關(guān)鍵是求a、b的值,在△PF1F2中,可由余弦定理和三角形面積公式列出方程組,從而求出a、b. |
遇到過橢圓、雙曲線的兩焦點(diǎn)與曲線上任一點(diǎn)組成的三角形時(shí),常用定義與解三角形知識(shí)解決相關(guān)問題.本題要注意整體代換的運(yùn)算技巧. |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年江西省宜春市上高二中高二(下)第五次月考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:選擇題
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