已知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,離心率為2,F(xiàn)1、F2為左、右焦點(diǎn).P為雙曲線上一點(diǎn),且∠F1PF2=60°,S△PF1F2=12,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

答案:
解析:

  解:如圖,設(shè)雙曲線方程為=1(a>0,b>0).

  因?yàn)閑==2,所以c=2a.

  由雙曲線的定義||PF1|-|PF2||=2a=c,

  在△PF1F2中,由余弦定理,得

  |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60°

 �。�(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1||PF2|(1-cos60°),

  即4c2=c2+|PF1||PF2|.①

  又=12,

  所以|PF1||PF2|sin60°=12,

  即|PF1||PF2|=48.②

  由①②,得c2=16,c=4,則a=2,b2=c2-a2=12.

  所以所求的雙曲線方程為=1.

  解析:要求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,可設(shè)出方程=1.關(guān)鍵是求a、b的值,在△PF1F2中,可由余弦定理和三角形面積公式列出方程組,從而求出a、b.


提示:

遇到過橢圓、雙曲線的兩焦點(diǎn)與曲線上任一點(diǎn)組成的三角形時(shí),常用定義與解三角形知識(shí)解決相關(guān)問題.本題要注意整體代換的運(yùn)算技巧.


練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,且過點(diǎn)A(1,0)和B(-1,0),P是雙曲線上異于A、B的任一點(diǎn),如果△APB的垂心H總在雙曲線上,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

過橢圓
x2
4
+
y2
2
=1
的右焦點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓于A、B兩點(diǎn),已知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,對(duì)稱中心在坐標(biāo)原點(diǎn)且兩條漸近線分別過A、B兩點(diǎn),則雙曲線的離心率是( �。�
A、
2
2
B、
6
2
C、
1
2
D、
3
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,且a+c=9,b=3,則它的標(biāo)準(zhǔn)方程是
x2
16
-
y2
9
=1
x2
16
-
y2
9
=1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

過橢圓的右焦點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓于A、B兩點(diǎn),已知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,對(duì)稱中心在坐標(biāo)原點(diǎn)且兩條漸近線分別過AB兩點(diǎn),則雙曲線的離心率e為(  )

A.                         B.                         C.                            D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年江西省宜春市上高二中高二(下)第五次月考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:選擇題

過橢圓的右焦點(diǎn)作x軸的垂線交橢圓于A、B兩點(diǎn),已知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,對(duì)稱中心在坐標(biāo)原點(diǎn)且兩條漸近線分別過A、B兩點(diǎn),則雙曲線的離心率是( )
A.
B.
C.
D.

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