已知函數(shù)f(x)=cos2(x+
π
12
)+sinxcosx
,.
(1)求f(x)的最小正周期和圖象的對稱中心;
(2)若存在x0∈[-
π
4
,
π
2
],使得不等式f(x0)<m成立,求m的取值范圍.
分析:利用二倍角公式化簡2的表達式為一個角的一個三角函數(shù)的形式,
(1)直接利用周期公式求出函數(shù)的周期,結合三角函數(shù)的對稱中心求解即可.
(2)x0∈[-
π
4
,
π
2
],求出-
3
2
≤sin(2x0+
π
3
)≤1
,即可求出m的取值范圍.
解答:解:f(x)=
1+cos(2x+
π
6
)
2
+
1
2
sin2x=
1
2
+
1
2
(
3
2
cos2x-
1
2
sin2x)+
1
2
sin2x
=
1
2
+
1
2
sin(2x+
π
3
)

(1)f(x)的最小正周期為π,令2x+
π
3
=kπ
,得x=
2
-
π
6
(k∈Z)

所以函數(shù)f(x)的圖象的對稱中心為(
2
-
π
6
,
1
2
)(k∈Z)
.(6分)
(2)由x0∈[-
π
4
π
2
],得-
π
6
≤2x0+
π
3
3
,則-
3
2
≤sin(2x0+
π
3
)≤1
,
于是
1
2
-
3
4
≤f(x0)≤1
,而若存在x0∈[-
π
4
,
π
2
]使得不等式f(x0)<m成立,
只需m>f(x0min,即m的取值范圍為(
1
2
-
3
4
,+∞)
.(6分)
點評:本題是中檔題,考查三角函數(shù)的化簡求值,注意區(qū)別恒成立問題與本題的區(qū)別.考查計算能力.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2013•松江區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=
1,x>0
0,x=0
-1,x<0
,設F(x)=x2•f(x),則F(x)是( �。�

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