Question

已知函數(shù)

（Ⅰ）若在（0，）單調(diào)遞減，求a的最小值

（Ⅱ）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）a的最小值為1; （Ⅱ）(0，1)．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）將“f(x)在（0，）單調(diào)遞減”轉(zhuǎn)化為“"x∈(0，＋∞)，a≥”，然后才有構(gòu)造函數(shù)的思想求解函數(shù)的最大值即可；（Ⅱ）通過(guò)對(duì)參數(shù)a        與1的討論，借助求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而分析保證有兩個(gè)極值點(diǎn)的條件，通過(guò)解不等式求解求a的取值范圍.

                                              

試題解析：（Ⅰ）f¢(x)＝lnx＋1－ax．

f(x)單調(diào)遞減當(dāng)且僅當(dāng)f¢(x)≤0，即"x∈(0，＋∞)，

a≥．                                                                                                                          ①

設(shè)g(x)＝，則g¢(x)＝－．

當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，g¢(x)＞0，g(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g¢(x)＜0，g(x)單調(diào)遞減．

所以g(x)≤g(1)＝1，故a的最小值為1．                                                              5分

（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，當(dāng)a≥1時(shí)，f(x)沒(méi)有極值點(diǎn)．

（2）當(dāng)a≤0時(shí)，f¢(x)單調(diào)遞增，f¢(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)，f(x)不可能有兩個(gè)極值點(diǎn)． 7分

（3）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，設(shè)h(x)＝lnx＋1－ax，則h¢(x)＝－a．

當(dāng)x∈(0，)時(shí)，h¢(x)＞0，h(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈(，＋∞)時(shí)，h¢(x)＜0，h(x)單調(diào)遞減．                                                     9分

因?yàn)閒¢()＝h()＝ln＞0，f¢()＝h()＝－＜0，

所以f(x)在區(qū)間(，)有一極小值點(diǎn)x₁．                                                            10分

由（Ⅰ）中的①式，有1≥，即lnx≤x－1，則ln≤－1，

故f¢()＝h()＝ln2＋2ln＋1－≤ln2＋2(－1)＋1－＝ln2－1＜0．

所以f(x)在區(qū)間(，)有一極大值點(diǎn)x₂．

綜上所述，a的取值范圍是(0，1)．       

考點(diǎn)：1.函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值；2.不等式恒成立.