【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）當時，求證：函數(shù)的圖像關于點對稱；

（Ⅱ）當時，求的單調區(qū)間.

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）當時，的遞減區(qū)間是，當時，的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是，，當時，的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是，.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明：當時，.將函數(shù)的圖象向左平移個單位 的圖象,然后證明是奇函數(shù)的圖象關于原點對稱的圖象關于點對稱；（Ⅱ）求導得，利用導數(shù)工具對、和分三種情況進行討論.

試題解析：

解：（Ⅰ）證明：當時，.

將函數(shù)的圖像向左平移個單位，得到函數(shù)的圖像.因為對任意，，且，所以函數(shù)是奇函數(shù).所以函數(shù)的圖像關于原點對稱.

所以函數(shù)的圖像關于點對稱.

（Ⅱ）由，得

①當時，.

所以的遞減區(qū)間是.

②當時，及隨的變化情況如下表：

所以的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是，.

③當時，及隨的變化情況如下表：

所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是，.

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