【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為
,左右兩頂點(diǎn)
,點(diǎn)
為橢圓
上任意一點(diǎn),滿足直線
的斜率之積為
,且
的最大值為4.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線與過(guò)點(diǎn)
且與
軸垂直的直線交于點(diǎn)
,過(guò)點(diǎn)
作
,垂足分別為
兩點(diǎn),求證:
.
【答案】(1); (2)見(jiàn)解析.
【解析】
利用直線
的斜率之積為
,得到
的關(guān)系式,再利用橢圓定義可得,
,即可求出
,得到橢圓
的標(biāo)準(zhǔn)方程;
求得
及焦點(diǎn)坐標(biāo),設(shè)直線
,則
,
的中點(diǎn)
為
,設(shè)
,聯(lián)立
消去
,求出
用k表示,分
和
兩種情況,分別證明
即可.
根據(jù)題意
,
設(shè),所以
,
所以,故
,從而橢圓
的標(biāo)準(zhǔn)方程為
.
證明:設(shè)直線
,則:
,
的中點(diǎn)為
為
,
聯(lián)立,消去
整理得:
設(shè),由韋達(dá)定理得:
,解得:
,
故有:, 又
,
當(dāng)時(shí),
,
,此時(shí)
軸,
所以四邊形為矩形,所以
,
所以.
當(dāng)時(shí),因?yàn)?/span>
,
所以直線,即:
,
所以點(diǎn)到直線
的距離
, 而
,
即知:,所以以
為直徑的圓與直線
相切,
因?yàn)樗倪呅?/span>為直角梯形,
的中點(diǎn)為
,
所以.
綜上可知,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的方程為
,
是橢圓上的一點(diǎn),且
在第一象限內(nèi),過(guò)
且斜率等于-1的直線與橢圓
交于另一點(diǎn)
,點(diǎn)
關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為
.
(1)證明:直線的斜率為定值;
(2)求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
討論函數(shù)
的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);
若函數(shù)
有兩個(gè)極值點(diǎn)
,
,證明:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)求函數(shù)的值域;
(2)若不等式對(duì)任意
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】噪聲污染已經(jīng)成為影響人們身體健康和生活質(zhì)量的嚴(yán)重問(wèn)題,為了了解強(qiáng)度(單位:分貝)與聲音能量
(單位:
)之間的關(guān)系,將測(cè)量得到的聲音強(qiáng)度
和聲音能量
數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.
表中,
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù),求聲音強(qiáng)度關(guān)于聲音能量
的回歸方程
;
(2)當(dāng)聲音強(qiáng)度大于60分貝時(shí)屬于噪音,會(huì)產(chǎn)生噪聲污染,城市中某點(diǎn)共受到兩個(gè)聲源的影響,這兩個(gè)聲源的聲音能量分別是
和
,且
.已知點(diǎn)
的聲音能量等于聲音能量
與
之和.請(qǐng)根據(jù)(1)中的回歸方程,判斷
點(diǎn)是否受到噪聲污染的干擾,并說(shuō)明理由.
附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),其回歸直線
的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為:
,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為
,左右兩頂點(diǎn)
,點(diǎn)
為橢圓
上任意一點(diǎn),滿足直線
的斜率之積為
,且
的最大值為4.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知直線與
軸的交點(diǎn)為
,過(guò)
點(diǎn)的直線
與橢圓
相交與
兩點(diǎn),連接點(diǎn)
并延長(zhǎng),交軌跡
于一點(diǎn)
.求證:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知四棱錐的底面ABCD為菱形,
,側(cè)面PAD與底面ABCD所成的角為
,
是等邊三角形,點(diǎn)P到平面ABCD距離為
.
(1)證明:;
(2)求二面角余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,
,動(dòng)點(diǎn)
滿足:以
為直徑的圓與
軸相切.
(1)求點(diǎn)的軌跡方程;
(2)設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線
,直線
過(guò)點(diǎn)
且與
交于
兩點(diǎn),當(dāng)
與
的面積之和取得最小值時(shí),求直線
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù),滿足:
,且
,其中
.
(1)若,寫(xiě)出所有滿足條件的數(shù)列
;
(2)求的值;
(3)證明:.
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