Question

函數(shù)f（x）=x^x（x＞0）是一個(gè)非常簡(jiǎn)潔而重要的函數(shù)，為了討論其性質(zhì)，可以利用對(duì)數(shù)恒等式將其變形：x^x=e lnxx．仿照該變形，研究函數(shù)φ（x）=x 

1

x

（x＞0）
（Ⅰ）求φ（x）=x 

1

x

（x＞0）在x=1處的切線方程，并討論φ（x）=x 

1

x

（x＞0）的單調(diào)性．
（Ⅱ）當(dāng)a＞-1時(shí)，討論關(guān)于x的方程φ′（x）=φ（x）（

1

x2

-

a

x

+

a-1

2

）解的個(gè)數(shù)，（φ′（x）是φ（x）的導(dǎo)函數(shù)）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線斜率，點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）方程φ′（x）=φ（x）（

1

x2

-

a

x

+

a-1

2

）等價(jià)于x

1

x

•

1-lnx

x2

=x 

1

x

（

1

x2

-

a

x

+

a-1

2

），即

a-1

2

x2-ax+lnx=0，設(shè)g（x）=

a-1

2

x2-ax+lnx  （x＞0），根據(jù)方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出方程解的情況．

解答： 解：（Ⅰ）φ（x）=x 

1

x

=e

1

x

lnx，∴φ′（x）=x

1

x

•

1-lnx

x2

，
φ′（1）=1，φ（1）=1，∴φ（x）=x 

1

x

（x＞0）在x=1處的切線方程為y=x．
令φ′（x）=0得x=e，當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，φ′（x）＞0，φ（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，φ′（x）＜0，φ（x）單調(diào)遞減，
∴φ（x）在（0，e）時(shí)，單調(diào)遞增，在（e，+∞）時(shí)，單調(diào)遞減．
（Ⅱ）方程φ′（x）=φ（x）（

1

x2

-

a

x

+

a-1

2

）等價(jià)于x

1

x

•

1-lnx

x2

=x 

1

x

（

1

x2

-

a

x

+

a-1

2

），
即

a-1

2

x2-ax+lnx=0，設(shè)g（x）=

a-1

2

x2-ax+lnx  （x＞0），
∴g′（x）=（a-1）x-a+

1

x

=

(a-1)x2-ax+1

x

，
①當(dāng)a=1時(shí)，g′（x）=

1-x

x

，x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）遞增，x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）遞減，
[g（x）]_max=g（1）=-1＜0，此時(shí)方程無(wú)實(shí)數(shù)根；
②當(dāng)a＞1時(shí)，g′（x）=（a-1）x-a+

1

x

=

(a-1)x2-ax+1

x

=

(a-1)(x- 1 a-1 )(x-1)

x

，
（i）當(dāng)

1

a-1

=1，a=2時(shí)，g′（x）=

(x-1)2

x

≥0，g（x）在（0，+∞）遞增，
且當(dāng)x→0時(shí)，g（x）→-∞，x→+∞時(shí)，g（x）→+∞，
故此時(shí)方程有唯一解；
（ii）當(dāng)

1

a-1

＞1，a∈（1，2）時(shí)，g（x）在（0，1）及（

1

a-1

，+∞）遞增，在（1，

1

a-1

）遞減，
[g（x）]_max=g（1）=-

a+1

2

＜0，且當(dāng)x→+∞時(shí)，g（x）→+∞，
故此時(shí)方程有唯一解；
（iii）當(dāng)

1

a-1

＜1，a∈（2，+∞）時(shí)，g（x）在（0，

1

a-1

）及（1，+∞）遞增，在（

1

a-1

，1）遞減，
[g（x）]_max=g（

1

a-1

）=

1-2a

2(a-1)

+ln

1

a-1

＜0，且當(dāng)x→+∞時(shí)，g（x）→+∞，
故此時(shí)方程有唯一解；
③當(dāng)-1＜a＜1時(shí)

1

a-1

＜0＜1，g（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，
[g（x）]_max=g（1）=-

a+1

2

＜0，方程無(wú)實(shí)數(shù)解．
綜上所述，當(dāng)a∈（-1，1）時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)解；當(dāng)a∈（1，+∞）時(shí)方程有唯一解．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求函數(shù)切線方程及利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求最值等知識(shí)，
考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)討論思想的運(yùn)用能力，邏輯性綜合性很強(qiáng)，屬難題．