Question

設(shè)數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和S_n，且S_n=

5

2

n²-

3

2

n（n∈N^*），b_n=

1

5

（a_n+4）．
（1）求數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式，并證明{a_n}是等差數(shù)列
（2）證明不等式

5amn

-

aman

＞1對(duì)任意m、n∈N^*都成立
（3）若數(shù)列d_n=3^b_n+（-1）^n-1•λ•2^b_n（n∈N^*），問是否存在非零整數(shù)λ，使得對(duì)于任意正整數(shù)n，都有d_n+1＞d_n？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）運(yùn)用n=1時(shí)，a₁=S₁，n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，即可得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，然后根據(jù)等差數(shù)列的特征證明即可；
（2）根據(jù)a_n=5n-4，用分析法可以使用權(quán)命題證明即可．
（3）首先設(shè)存在λ≠0，滿足d_n+1＞d_n恒成立，然后討論n的奇偶性，利用恒成立的方法求出λ的范圍即可，最后根據(jù)λ是非零整數(shù)，求出它的值即可．

解答： 解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（

5

2

n²-

3

2

n）-[

5

2

(n-1)2-

3

2

(n-1)]=5n-4，
又n=1時(shí)，a₁=S₁=1=5×1-4，
∴a_n=5n-4，
∴a_n-a_n-1=5n-4-（5n-9）=5，
∴{a_n}是以1為首項(xiàng)，5為公差的等差數(shù)列；
（2）由（1）可知，a_n=5n-4，
要證

5amn

-

aman

＞1，
只要證5a_mn＞1+a_ma_n+2

aman

，
因?yàn)閍_mn=5mn-4，a_ma_n=（5m-4）（5n-4）=25mn-20（m+n）+16，
所以只要證5（5mn-4）＞1+25mn-20（m+n）+16+2

aman

，
即只要證20m+20n-37＞2

aman

，
因?yàn)?

aman

≤a_m+a_n=5m+5n-8＜5m+5n-8+（15m+15n-29）=20m+20n-37，
所以命題得證，
即不等式

5amn

-

aman

＞1對(duì)任意m、n∈N^*都成立；
（3）因?yàn)閎_n=

1

5

（a_n+4）=

1

5

（5n-4+4）=n，
所以d_n=3^b_n+（-1）^n-1•λ•2^b_n=3ⁿ+（-1）^n-1•λ•2ⁿ，
若存在非零整數(shù)λ，使得對(duì)于任意正整數(shù)n，都有d_n+1＞d_n成立，
即3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ•λ•2ⁿ⁺¹＞3ⁿ+（-1）^n-1•λ•2ⁿ，
所以(

3

2

)n-1＞（-1）^n-1•λ恒成立，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，(

3

2

)n-1＞λ，故λ＜1，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，(

3

2

)n-1＞-λ，故λ＞-

3

2

，
所以-

3

2

＜λ＜1，λ是非零整數(shù)，
所以λ=-1，
即存在非零整數(shù)λ=-1，使得對(duì)于任意正整數(shù)n，都有d_n+1＞d_n成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及數(shù)列與不等式的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．