Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點D是BC上一點．
（1）若點D是BC的中點，求證：A₁C∥平面AB₁D；
（2）若平面AB₁D⊥平面BCC₁B₁，求證：AD⊥BC．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的性質(zhì),直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）利用三角形中位線的性質(zhì)證明線線平行，再根據(jù)直線與平面平行的判定定理即可證明A₁C∥平面AB₁D．
（2）首先根據(jù)直線與平面垂直的判定定理證明AD⊥平面BCC₁B₁，再利用直線與平面垂直的性質(zhì)可得AD⊥BC．

解答： 證明：（1）連接A₁B，設AB₁∩A₁B=E，
則E為A₁B 的中點，
連接DE，由D是BC的中點，
可得DE是△A₁BC的中位線．
∴DE∥A₁C，
又DE?平面AB₁D，且A₁C?平面AB₁D，
所以A₁C∥平面AB₁D．
（2）在平面BCC₁B₁中過點B作BF⊥B₁D，
∵平面AB₁D⊥平面BCC₁B₁，
平面AB₁D∩平面BCC₁B₁=B₁D，
∴BF⊥平面AB₁D，
又∵AD?平面AB₁D
∴BF⊥AD，
在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
BB₁⊥平面ABC，
∴BB₁⊥AD，
又BB₁∩BF=B，
∴AD⊥平面BCC₁B₁，
又∵BC?平面BCC₁B₁
∴AD⊥BC．

點評：本題考查直線與平面平行的判定定理，直線與平面垂直的判定定理，以及直線與平面垂直的性質(zhì)等知識的綜合運用．