Question

（2009•臨沂一模）P是雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1的右支上一點，M、N分別是圓（x+5）²+y²=4和（x-5）²+y²=1上的點，則|PM|-|PN|的最大值為（　�。�

A．6

B．7

C．8

D．9

Answer 1

分析：由題設通過雙曲線的定義推出|PF₁|-|PF₂|=6，利用|MP|≤|PF₁|+|MF₁|，|PN|≥|PF₂|+|NF₂|，推出|PM|-|PN|≤|PF₁|+|MF₁|-|PF₂|-|NF₂|，求出最大值．

解答：解：雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1中，如圖：
∵a=3，b=4，c=5，
∴F₁（-5，0），F₂（5，0），
∵|PF₁|-|PF₂|=2a=6，
∴|MP|≤|PF₁|+|MF₁|，|PN|≥|PF₂|-|NF₂|，
∴-|PN|≤-|PF₂|+|NF₂|，
所以，|PM|-|PN|≤|PF₁|+|MF₁|-|PF₂|+|NF₂|
=6+1+2
=9．
故選D．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．