Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，且PD⊥平面ABCD，PD=AB=1，EF分別是PB、AD的中點，
（I）證明：EF∥平面PCD；
（Ⅱ）求二面角B-CE-F的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）以D為坐標原點，DA所在的直線為x軸、DC所在的直線為y軸、DP所在的直線為z軸，建立空間直角坐標系D-xyz．則A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），E（），F(xiàn)（），，平面PCD的一個法向量為．由此得到．由EF?平面PCD，知EF∥平面PCD．
（Ⅱ）由，，得EF⊥PC，EF⊥PB，由PB，PC是平面PCD內(nèi)的兩條相交線，知EF⊥平面PBC，由EF?平面EFC，知平面PBC⊥平面EFC，由此能求出二面角B-CE--F的大�。�
解答：解：（Ⅰ）以D為坐標原點，DA所在的直線為x軸、DC所在的直線為y軸、DP所在的直線為z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz．
則A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），
∴E（），F(xiàn)（），，
平面PCD的一個法向量為．
∵=0，
∴．
∵EF?平面PCD，
∴EF∥平面PCD．
（Ⅱ）∵，，
，
，
∴EF⊥PC，EF⊥PB，
∵PB，PC是平面PCD內(nèi)的兩條相交線，
∴EF⊥平面PBC，
∵EF?平面EFC，
∴平面PBC⊥平面EFC，
∴二面角B-CE--F的大小為．
點評：本題考查EF∥平面PCD的證明和求二面角B-CE-F的大小，解題時要認真審題，仔細解答，注意向量法的合理運用．