Question

如圖，在六面體A₁B₁C₁-ABDE中，平面A₁B₁C₁∥平面ABDE，△A₁B₁C₁是正三角形，四邊形AA₁B₁B是直角梯形，AA₁⊥AB，四邊形AEC₁A₁是正方形，四邊形ABDE是等腰梯形，AB∥DE，AB=2AE=2DE=2．
（Ⅰ）證明：AB₁∥平面C₁DE；
（Ⅱ）求平面AB₁E與平面BB₁C₁D所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）證明AB₁∥平面C₁DE，通過證明平面ABB₁A₁∥平面C₁DE即可；
（Ⅱ）延長AE，BD交于點P，連接B₁P交C₁D于Q，則B₁P為平面AB₁E與平面BB₁C₁D的交線，作BH⊥B₁P于H，則AH⊥BH，可得∠ABH為平面AB₁E與平面BB₁C₁D所成銳二面角，即可求平面AB₁E與平面BB₁C₁D所成銳二面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵四邊形AEC₁A₁是正方形，
∴AA₁∥EC₁，
∵AA₁?平面C₁DE，EC₁?平面C₁DE，
∴AA₁∥平面C₁DE；
同理AB∥平面C₁DE；
∵AB∩AA₁=A
∴平面ABB₁A₁∥平面C₁DE
∴AB₁∥平面C₁DE；
（Ⅱ）解：延長AE，BD交于點P，連接B₁P交C₁D于Q，則B₁P為平面AB₁E與平面BB₁C₁D的交線，
∵四邊形ABDE是等腰梯形，AB∥DE，AB=2AE=2DE=2，
∴AP=BP=2，AB₁=BB₁=

2

，B₁P=2，
△AB₁P≌△BB₁P，作BH⊥B₁P于H，
則AH⊥BH，∴∠ABH為平面AB₁E與平面BB₁C₁D所成銳二面角．
∵BH=AH=

7

2

，∴cos∠AHB=

1

7

，
∴平面AB₁E與平面BB₁C₁D所成銳二面角的余弦值為

1

7

．

點評：本題考查直線與平面的平行，二面角的求法等知識，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．