Question

根據(jù)遼寧省期初教育工作會議精神，我省所有中小學全部取消晚自習，某校高二年級共有學生1000名，其中走讀生750名，住宿生250名，現(xiàn)從該年級采用分層抽樣的方法從該年級抽取n名學生進行問卷調(diào)查．根據(jù)問卷取得了這n名同學每天晚上有效學習時間（單位：分鐘）的數(shù)據(jù)，按照以下區(qū)間分為八組
①[0，30），②[30，60），③[60，90），④[90，120），⑤[120，150），⑥[150，180），⑦[180，210），⑧[210，240），
得到頻率分布直方圖如下．已知抽取的學生中每天晚上有效學習時間少于60分鐘的人數(shù)為5人；
（1）求n的值并補全下列頻率分布直方圖；
（2）如果把“學生晚上有效時間達到兩小時”作為是否充分利用時間的標準，對抽取的n名學生，完成下列2×2列聯(lián)表：

	利用時間充分	利用時間不充分	總計
走讀生	50	25	75
住宿生	10	15	25
總計	60	40	100

是否有95%的把握認為學生利用時間是否充分與走讀、住宿有關(guān)？
（3）若在第①組、第②組、第⑦組、第⑧組中共抽出3人調(diào)查影響有效利用時間的原因，記抽到“有效學習時間少于60分鐘”的學生人數(shù)為X，求X的分布列及期望；
參考公式：K²=．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)第i組的頻率為P_i（i=1，2，…，8），則由圖能夠求出n的值并能補全頻率分布直方圖．
（2）利用題設(shè)條件，先求出2×2列聯(lián)表，再求出K²，并把K²與3.841進行比較，從而得到有95%的把握認為學生利用時間是否充分與走讀、住宿有關(guān)．
（3）由（1）知：第①組1人，第②組4人，第⑦組15人，第⑧組10人，總計20人．則X的所有可能取值為0，1，2，3，P（X=i）=（i=0，1，2，3），由此能求出X的分布列和EX．
解答：解：（1）設(shè)第i組的頻率為P_i（i=1，2，…，8），則由圖可知：P₁=×30=，P₂=×30=
∴學習時間少于60鐘的頻率為：P₁+P₂=  由題意：n×=5∴n=100
又P₃=×30=，P₅=×30=，P₆=×30=，P₇=×30=，P₈=×30=，
∴P₄=1-（P₁+P₂+P₃+P₅+P₆+P₇+P₈）=1-=1-=
第④組的高度h=×==
頻率分布直方圖如圖：（未標明高度1/120扣1分）（4分）
（2）2×2列聯(lián)表如下：

	利用時間充分	利用時間不充分	總計
走讀生	50	25	75
住宿生	10	15	25
總計	60	40	100

K²=≈5.556
由于K²＞3.841，
所以有95%的把握認為學生利用時間是否充分與走讀、住宿有關(guān)…（8分）
（3）由（1）知：第①組1人，第②組4人，第⑦組15人，第⑧組10人，總計20人．
則X的所有可能取值為0，1，2，3
P（X=i）=（i=0，1，2，3）
∴P（X=0）===，
P（X=1）====，
P（X=2）====，
P（X=3）====
∴X的分布列為：

P		1	2	3
X

EX=0×+1×+2×+3×===．
點評：本題考查離散型隨機變量的概率分布列和數(shù)學期望，解題時要認真審題，仔細解答，注意頻率分布直方圖和概率知識的靈活運用．