【題目】已知函數(shù).

(I)求曲線在點處的切線方程；

(Ⅱ)當時，求證：函數(shù)存在極小值；

(Ⅲ)請直接寫出函數(shù)的零點個數(shù)．

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）當或時，函數(shù)有一個零點 ；當且時，函數(shù)有兩個零點.

【解析】

(1) 求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，可得切線的斜率和切點，可得切線的方程；(2)，說明有可變零點即可；(3)由題意可得函數(shù)的零點個數(shù)．

（1）的定義域為

因為

所以切點的坐標為

因為

所以切線的斜率，

所以切線的方程為

（2）方法一：

令

因為且，

所以，，

從而得到在上恒成立

所以在上單調(diào)遞增且，

所以在上遞減，在遞增；

所以時，取得極小值，問題得證

方法二：

因為

當時，

當時， ，所以

當時， ，所以

所以在上遞減，在遞增；

所以時，函數(shù)取得極小值，問題得證.

（3）當或時，函數(shù)有一個零點 ；

當且時，函數(shù)有兩個零點.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的極值；

（2）若，是否存在整數(shù)使對任意成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】定義:圓心到直線的距離與圓的半徑之比稱為“直線關于圓的距離比”.

（1）設圓求過點P的直線關于圓的距離比的直線方程；

（2）若圓與軸相切于點A且直線關于圓C的距離比求出圓C的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校實行選科走班制度，張毅同學的選擇是地理、生物、政治這三科，且生物在層班級．該校周一上午選科走班的課程安排如下表所示，張毅選擇三個科目的課各上一節(jié)，另外一節(jié)上自習，則他不同的選課方法的種數(shù)為（ ）

第一節(jié)

第二節(jié)

第三節(jié)

第四節(jié)

地理1班

化學層3班

地理2班

化學層4班

生物層1班

化學層2班

生物層2班

歷史層1班

物理層1班

生物層3班

物理層2班

生物層4班

物理層2班

生物層1班

物理層1班

物理層4班

政治1班

物理A層3班

政治2班

政治3班

A. 4B. 5C. 6D. 7

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左頂點為，兩個焦點與短軸一個頂點構成等腰直角三角形，過點且與x軸不重合的直線l與橢圓交于M，N不同的兩點．

（Ⅰ）求橢圓P的方程；

（Ⅱ）當AM與MN垂直時，求AM的長；

（Ⅲ）若過點P且平行于AM的直線交直線于點Q，求證：直線NQ恒過定點．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】首項為O的無窮數(shù)列同時滿足下面兩個條件：

①；②

(1)請直接寫出的所有可能值；

(2)記，若對任意成立，求的通項公式；

(3)對于給定的正整數(shù)，求的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，，直線（）與橢圓交于，兩點（點在軸的上方）.

（1）若，求的面積；

（2）是否存在實數(shù)使得以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標原點？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美．圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1．則該半正多面體共有________個面，其棱長為_________．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】 如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，，，

（Ⅰ）設分別為的中點，求證：平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.

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