Question

商場銷售某一品牌的羊毛衫，購買人數(shù)n是羊毛衫標價x的一次函數(shù)，標價越高，購買人數(shù)越少．已知標價為每件300元時，購買人數(shù)為零．標價為每件225元時，購買人數(shù)為75人，若這種羊毛衫的成本價是100元/件，商場以高于成本價的相同價格（標價）出售，問：
（1）商場要獲取最大利潤，羊毛衫的標價應定為每件多少元？
（2）通常情況下，獲取最大利潤只是一種“理想結(jié)果”，如果商場要獲得最大利潤的75%，那么羊毛衫的標價為每件多少元？

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應用

專題：應用題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）設購買人數(shù)為n人，羊毛衫的標價為每件x元，利潤為y元，則n=kx+b（k＜0），則可得

0=300k+b 75=225k+b

，從而求出y=-（x-300）•（x-100），由二次函數(shù)求最值；
（2）解方程-（x-300）•（x-100）=10000×75%，由方程與不等式的關系寫出解集即可．

解答： 解：（1）設購買人數(shù)為n人，羊毛衫的標價為每件x元，利潤為y元，則n=kx+b（k＜0），
∴

0=300k+b 75=225k+b

，
∴

k=-1 b=300

，
∴n=-x+300．
y=-（x-300）•（x-100）=-（x-200）²+10000，x∈（100，300]，
∴x=200時，y_max=10000，
即商場要獲取最大利潤，羊毛衫的標價應定為每件200元．
（2）由題意得，-（x-300）•（x-100）=10000×75%，
∴x²-400x+30000=-7500，x²-400x+37500=0，
∴（x-250）（x-150）=0∴x₁=250，x₂=150
所以當商場以每件150元或250元出售時，可獲得最大利潤的75%．

點評：本題考查了學生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的能力及函數(shù)的性質(zhì)應用，屬于中檔題．