設橢圓C1:+=1(a>b>0),拋物線C2:x2+by=b2.

(1)若C2經(jīng)過C1的兩個焦點,求C1的離心率;

(2)設A(0,b),Q（3,b）,又M,N為C1與C2不在y軸上的兩個交點,若△AMN的垂心為B（0,b）,且△QMN的重心在C2上,求橢圓C1和拋物線C2的方程.

 

【答案】

（1） （2）+=1 x2+2y=4

【解析】

解:(1)因為拋物線C2經(jīng)過橢圓C1的兩個焦點F1(-c,0),F2(c,0),

可得c2=b2,

由a2=b2+c2=2c2,

有=,

所以橢圓C1的離心率e=.

(2)由題設可知M,N關(guān)于y軸對稱,

設M(-x1,y1),N(x1,y1)(x1>0),

則由△AMN的垂心為B,有·=0.

所以-+（y1-b）(y1-b)=0.①

由于點N(x1,y1)在C2上,

故有+by1=b2.②

由①②得y1=-或y1=b(舍去),

所以x1=b,

故M（-b,-）,N（b,-）,

所以△QMN的重心坐標為（,）.

由重心在C2上得3+=b2,

所以b=2,

M（-,-）,N（,-）.

又因為M,N在C1上,

所以+=1,

解得a2=.

所以橢圓C1的方程為+=1.

拋物線C2的方程為x2+2y=4.

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C1：
x2
5
+
y2
2
=1和圓C：x2+y2=4，且圓C與x軸交于A1，A2兩點．
（1）設橢圓C1的右焦點為F，點P的圓C上異于A1，A2的動點，過原點O作直線PF的垂線交橢圓的右準線交于點Q，試判斷直線PQ與圓C的位置關(guān)系，并給出證明；
（2）設點M（x0，y0）在直線x+y-3=0上，若存在點N∈C，使得∠OMN=60°（O為坐標原點），求x0的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)設橢圓C1：
x2
5
+
y2
4
=1的左、右焦點分別是F1、F2，下頂點為A，線段OA的中點為B（O為坐標原點），如圖．若拋物線C2：y=mx2-n（m＞0，n＞0）與y軸的交點為B，且經(jīng)過F1，F(xiàn)2點．
（Ⅰ）求拋物線C2的方程；
（Ⅱ）設M（0，-
4
5
），N為拋物線C2上的一動點，過點N作拋物線C2的切線交橢圓C1于P、Q兩點，求△MPQ面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2005•海淀區(qū)二模）設橢圓C1的中心在原點，其右焦點與拋物線C2：y2=4x的焦點F重合，過點F與x軸垂直的直線與C1交與A、B兩點，與C2交于C、D兩點，已知
|CD|
|AB|
=
4
3

（1）求橢圓C1的方程
（2）過點F的直線l與C1交與M、N兩點，與C2交與P、Q兩點，若
|PQ|
|MN|
=
5
3
，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•茂名一模）已知橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1   (a＞b＞0)過點A(0，
2
)且它的離心率為
3
3
．
（1）求橢圓C1的方程；
（2）設橢圓C1的左焦點為F1，右焦點為F2，直線l1過點F1且垂直于橢圓的長軸，動直線l2垂直l1于點P，線段PF2的垂直平分線交l2于點M，求點M的軌跡C2的方程；
（3）已知動直線l過點Q（4，0），交軌跡C2于R、S兩點．是否存在垂直于x軸的直線m被以RQ為直徑的圓O1所截得的弦長恒為定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，說明理由．

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