Question

設(shè)f₀（x）=cosx，f₁（x）=f₀′（x），f₂（x）=f₁′（x），…，f_n+1（x）=f_n′（x），n∈N，則f₂₀₁₃（x）=（　�。�

• A、cosx
• B、-sinx
• C、-cosx
• D、sinx

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專(zhuān)題：歸納法,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：本題可以根據(jù)題中條件進(jìn)行多次的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)函數(shù)間的周期性，再通過(guò)周期性研究得到本題結(jié)論．

解答： 解：∵f₀（x）=cosx，f_n+1（x）=f_n′（x），n∈N，
∴f₁（x）=f₀′（x）=-sinx，
f₂（x）=f₁′（x）=-cosx，
f₃（x）=f₂′（x）=sinx，
f₄（x）=f₃′（x）=cosx，
f₅（x）=f₄′（x）=-sinx，
…
∴fn+4(x)=fn(x)，n∈N．
∴f₂₀₁₃（x）=f₁（x）=-sinx．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和歸納法思想，本題的難點(diǎn)在于發(fā)現(xiàn)函數(shù)間的周期性規(guī)律，有一定的思維難度，屬于中檔題．