Question

正項等比數(shù)列{a_n}滿足：a₃=a₂+2a₁，若存在a_m，a_n，使得a_ma_n=16a₁²，則

1

m

+

4

n

的最小值為（　　）

• A、

  25

  6

• B、

  13

  4

• C、

  7

  3

• D、

  3

  2

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：正項等比數(shù)列{a_n}滿足：a₃=a₂+2a₁，知q=2，由存在兩項a_m，a_n，使得a_ma_n=16a₁²，知m+n=6，由此問題得以解決．

解答： 解：∵正項等比數(shù)列{a_n}滿足：a₃=a₂+2a₁，
∴a1q2=a1q+2a1，
即：q²=q+2，解得q=-1（舍），或q=2，
∵存在a_m，a_n，使得a_ma_n=16a₁²，
∴(a1•2m-1)•(a1•2n-1)16a12，
∴a12•2m+n-2=16a12，
所以，m+n=6，
∴

1

m

+

4

n

=(

1

m

+

4

n

)[

1

6

(m+n)]=

1

6

(5+

n

m

+

4m

n

)≥

1

6

(5+2

n m • 4m n

)=

3

2

．
所以

1

m

+

4

n

的最小值為

3

2

．
故選：D..

點評：本題考查等比數(shù)列的通項公式的應用，解題時要認真審題，仔細解答．注意不等式也是高考的熱點，尤其是均值不等式和一元二次不等式的考查，兩者都兼顧到了．