Question

如圖，圓柱的高為2，底面半徑為3，AE、DF是圓柱的兩條母線，B、C是下底面圓周上的兩點，已知四邊形ABCD是正方形．

(1)求證：BC⊥BE；

(2)求正方形ABCD的邊長；

(3)求直線EF與平面ABF所成角的正弦值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)AE是圓柱的母線底面BEFC，1分 　　又面BEFC，；2分 　　又ABCD是正方形 　　又面ABE；3分 　　又面ABE，；4分 　　(2)四邊形為矩形，且ABCD是正方形EFBC 　　四邊形EFBC為矩形BF為圓柱下底面的直徑；5分 　　設(shè)正方形ABCD的邊長為，則AD＝EF＝AB＝ 　　在直角中AE＝2，AB＝，且BE2＋AE＝AB，得BE＝2－4 　　在直角中BF＝6，EF＝，且BE＋EF＝BF，的BE2＝36－2；6分 　　解得＝，即正方形ABCD的邊長為；7分 　　(3)解法一：如圖以F為原點建立空間直角坐標(biāo)系， 　　則A(，0，2)，B(，4，0)，E(，0，0)，＝(，0，2)，＝(，4，0)， 　　＝(，0，0)；8分 　　設(shè)面AEF的法向量為＝(，，)，則 　　；10分 　　令，則即(，，－)；11分 　　設(shè)直線與平面所成角的大小為，則 　　；13分 　　所以直線與平面所成角的正弦值為．14分