Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個焦點與拋物線y²=-4x的焦點相同，A（2，0）在橢圓上，過橢圓的右焦點F作斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓交于E，G兩點，直線AE，AG分別交直線x=m（m＞2）于點M，N，線段MN的中點為P，記直線PF的斜率為k′．
（1）求橢圓方程；
（2）求k•k′的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由拋物線y²=-4x，可得焦點F（1，0）相同，c=1．又A（2，0）在橢圓上，a=2，再利用b²=a²-c²即可得出．
（2）點F（1，0），設E（x₁，y₁），G（x₂，y₂），設直線l的方程為：y=k（x-1），與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系，由直線AE：y=

y1

x1-2

(x-2)，可得M(m，

y1(m-2)

x1-2

)，同理可得N(m，

y2(m-2)

x2-2

)．再利用斜率計算公式即可得出．

解答： 解：（1）由拋物線y²=-4x，可得焦點F（1，0）相同，∴c=1．
又A（2，0）在橢圓上，∴a=2，
∴b²=a²-c²=3．
故所求的橢圓方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）點F（1，0），設直線l的方程為：y=k（x-1），
聯(lián)立

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

得 （4k²+3）x²-8k²x+4k²-12=0，
設E（x₁，y₁），G（x₂，y₂），
則x1+x2=

8k2

4k2+3

，x1x2=

4k2-12

4k2+3

．
直線AE：y=

y1

x1-2

(x-2)，故M(m，

y1(m-2)

x1-2

)，
同理可得N(m，

y2(m-2)

x2-2

)．
∴點P(m，

1

2

(

y1(m-2)

x1-2

+

y2(m-2)

x2-2

))，
k′=

m-2

2(m-1)

(

y1

x1-2

+

y2

x2-2

)=

(m-2)k

2(m-1)

(

x1-1

x1-2

+

x2-1

x2-2

)，
=

(m-2)k

2(m-1)

•

2x1x2-3(x1+x2)+4

x1x2-2(x 1+x2)+4

=

(m-2)k

2(m-1)

•

-12

4k2

=-

3

2k

•

m-2

m-1

∴k•k′=-

3

2

•

m-2

m-1

，
又∵m＞2
∴k•k′∈(-

3

2

，0)．

點評：本題考查了橢圓與拋物線的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系、斜率計算公式，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．