已知P,A,B,C是球面上的四點,∠ACB=90°,PA=PB=PC=AB=2,則該球的表面積是


  1. A.
    數(shù)學公式
  2. B.
    數(shù)學公式
  3. C.
    數(shù)學公式
  4. D.
    數(shù)學公式
A
分析:取AB中點E,連接PE、CE,可證出△PAE≌△PBE≌△PCE,得到∠CEP=90°即PE⊥CE,所以PE⊥平面ABC.因此,三棱錐P-ABC外接球的球心O在直線PE上,設PO=AO=R,建立關于R的方程并解之得R=,最后結合球的表面積為公式,可得外接球的表面積.
解答:取AB中點E,連接PE、CE
∵△ABC中,∠ACB=90°,E為AB中點
∴EA=EB=EC=AB
又∵PA=PB=PC,PE公用,∴△PAE≌△PBE≌△PCE
∵△PAB中,PA=PB=2,EA=EB=1,∴PE⊥AB,PE=
可得∠AEP=∠BEP=∠CEP=90°,即得PE⊥CE,
∵AB、CE是平面ABC內的相交直線
∴PE⊥平面ABC
因此,三棱錐P-ABC外接球的球心O必在直線PE上,設PO=AO=R,得
OE2+AE2=OA2,即(-R)2+12=R2,解之得R=
∴三棱錐P-ABC外接球的表面積為S=4πR2=
故選:A
點評:本題給出特殊的三棱錐,求它的外接球的表面積,著重考查了空間線面垂直的判定與性質和球的表面積公式等知識,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知P,A,B,C是平面內四點,且
PA
+
PB
+
PC
=
AC
,那么一定有( 。
A、
PB
=2
CP
B、
CP
=2
PB
C、
AP
=2
PB
D、
PB
=2
AP

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知P,A,B,C是以O為球心的球面上的四個點,PA,PB,PC兩兩垂直,且PA=PB=PC=2,則球O的半徑為
 
;球心O到平面ABC的距離為
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知P、A、B、C是平面內四個不同的點,且
PA
+
PB
+
PC
=
AC
,則( 。
A、C三點共線
B、P三點共線
C、P三點共線
D、P三點共線

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知P,A,B,C是球面上的四點,∠ACB=90°,PA=PB=PC=AB=2,則該球的表面積是( 。

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知P、A、B、C是球O表面上的點,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=1,BC=
3
,PA=
5
,則球O的表面積為( 。

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