Question

已知P，A，B，C是球面上的四點，∠ACB=90°，PA=PB=PC=AB=2，則該球的表面積是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

A
分析：取AB中點E，連接PE、CE，可證出△PAE≌△PBE≌△PCE，得到∠CEP=90°即PE⊥CE，所以PE⊥平面ABC．因此，三棱錐P-ABC外接球的球心O在直線PE上，設PO=AO=R，建立關于R的方程并解之得R=，最后結合球的表面積為公式，可得外接球的表面積．
解答：取AB中點E，連接PE、CE
∵△ABC中，∠ACB=90°，E為AB中點
∴EA=EB=EC=AB
又∵PA=PB=PC，PE公用，∴△PAE≌△PBE≌△PCE
∵△PAB中，PA=PB=2，EA=EB=1，∴PE⊥AB，PE=
可得∠AEP=∠BEP=∠CEP=90°，即得PE⊥CE，
∵AB、CE是平面ABC內的相交直線
∴PE⊥平面ABC
因此，三棱錐P-ABC外接球的球心O必在直線PE上，設PO=AO=R，得
OE²+AE²=OA²，即（-R）²+1²=R²，解之得R=
∴三棱錐P-ABC外接球的表面積為S=4πR²=
故選：A
點評：本題給出特殊的三棱錐，求它的外接球的表面積，著重考查了空間線面垂直的判定與性質和球的表面積公式等知識，屬于中檔題．