Question

△ABC中，頂點(diǎn)A（1，2），B（4，1），點(diǎn)H（

23

7

，

6

7

）為△ABC三條高所在直線的交點(diǎn)．
（1）求頂點(diǎn)C坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線l：kx+y=0（k∈r），求點(diǎn)A，B，C到l的距離的平方和的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的一般式方程

專題：直線與圓

分析：（1）利用垂心的性質(zhì)、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系即可得出；
（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式、函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)C（x，y），
∵點(diǎn)H（

23

7

，

6

7

）為△ABC三條高所在直線的交點(diǎn)，∴CH⊥AB，AH⊥BC．
∴k_CH•k_AB=k_BH•k_AC=-1，
∴

y- 6 7

x- 23 7

•

2-1

1-4

=-1，

1- 6 7

4- 23 7

•

y-2

x-1

=-1，
化為3x-y-9=0，5x+y-7=0，聯(lián)立解得

x=2 y=-3

，
∴C（2，-3）．
（2）點(diǎn)A，B，C到l的距離的平方和=(

k+2

k2+1

)2+(

4k+1

k2+1

)2+(

2k-3

k2+1

)2=

21k2+14

k2+1

=21-

7

k2+1

，
∵k²≥0，∴

1

k2+1

≤1，∴21-

7

k2+1

≥14．
直線l：kx+y=0（k∈r），求點(diǎn)A，B，C到l的距離的平方和的取值范圍是[14，21）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂心的性質(zhì)、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式、函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．