Question

【題目】已知二次函數(shù)，關(guān)于的不等式的解集為，，設(shè)．

（）求的值．

（）如何取值時(shí)，函數(shù)存在極值點(diǎn)，并求出極值點(diǎn)．

（）若，且，求證：．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）見解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)二次不等式解集與二次方程根的關(guān)系可得，解得的值．（2）先求導(dǎo)數(shù)，再研究導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)：沒有零點(diǎn)就沒有極值點(diǎn)，有零點(diǎn)但不在定義區(qū)間，也不是零點(diǎn)；零點(diǎn)在定義區(qū)間且附近導(dǎo)函數(shù)變號(hào)才是零點(diǎn)；（3）先根據(jù)二項(xiàng)展開式化簡不等式左邊式子，并根據(jù)基本不等式放縮，再根據(jù)倒序相加法求中間的和，利用基本不等式放縮即得結(jié)論.

試題解析：（）因?yàn)殛P(guān)于的不等式的解集為，

即不等式的解集為，

所以，

所以，

所以，所以．

（）由（）得，

所以的定義域?yàn)?/span>，

所以，

方程（*）的判別式

．

①當(dāng)時(shí)，，方程（*）的兩個(gè)實(shí)根為，，

則時(shí)，；時(shí)，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)有極小值點(diǎn)．

②當(dāng)時(shí)，由，得或，若，

則，，故時(shí)，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．所以函數(shù)沒有極值點(diǎn)，

若時(shí)，，，

則時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)有極小值點(diǎn)，有極大值點(diǎn)，

綜上所述，當(dāng)時(shí)，取任意實(shí)數(shù)，函數(shù)有極小值點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)有極小值點(diǎn)，有極大值點(diǎn)，

（其中，）．

（）因?yàn)?/span>，所以，

所以，

令，

則，

因?yàn)?/span>，所以

，

所以，即．