Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）當m=0時，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；

（Ⅱ）若函數f（x）的圖象在x軸的上方，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）y=-x+1；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）求得f（x）解析式和導數，可得切線的斜率，由點斜式方程可得切線方程；

（Ⅱ）由題意，求得f（x）的導數，按m≤0，0＜m≤1分類討論，得f（x）的單調性，計算得最小值，解不等式即可得所求的范圍．

（Ⅰ）當m＝0時，f（x）＝﹣xlnx，f（x）＝﹣lnx﹣1，所以f（1）＝0，f（1）＝﹣1，

所以曲線y＝f（x）在x＝1處的切線方程是y＝﹣x+1；

（Ⅱ）“函數f（x）的圖象在x軸的上方”，等價于“x＞0時，f（x）＞0恒成立”．

由，得f（x）=（2mx-1）lnx+2mx-1=（2mx-1）（lnx+1），

①當m≤0時，因為，不合題意；

②當0＜m≤1時，令f（x）＝0得，顯然；

令f（x）＞0得；令f（x）＜0得，

所以函數f（x）的單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間，

當時，mx2﹣x＜0，lnx＜0，所以，

只需，所以，所以．