Question

已知△ABC的周長(zhǎng)為6，依次為a，b，c，成等比數(shù)列．
（1）求證：
（2）求△ABC的面積S的最大值；
（3）求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）、根據(jù)題中已知條件求出a，b，c之間的關(guān)系，然后利用余弦定理便可求出cosB的值，即可證明；
（2）、由（1）中所求得的角B的最大值，再根據(jù)題中條件求出b的取值范圍，便可知當(dāng)b=2，∠B=時(shí)三角形的面積最大；
（3）、利用余弦定理結(jié)合前面求得的a，b，c的關(guān)系便可求出關(guān)于b的表達(dá)式，然后根據(jù)b的取值范圍求出的取值范圍．
解答：解：（1）a+b+c=6，b²=ac，不妨設(shè)a≤b≤c，
由余弦定理得
故有，
（2）又，從而0＜b≤2．
∵△ABC三邊依次為a，b，c，則a-c＜b，即有（a-c）²＜b²，
∵a+b+c=6，b²=ac，b²＞（a+c）²-4ac，
∴b²+3b-9＞0，∴b＞，
∴＜b≤2；
所以，即
（3）所以
=
∵＜b≤2；
∴；
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的基本性質(zhì)以及三角函數(shù)的運(yùn)用，考查了學(xué)生的計(jì)算能力和數(shù)列與三角函數(shù)的綜合掌握，解題時(shí)注意轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．