Question

若橢圓E₁：和橢圓E₂：滿足，則稱這兩個(gè)橢圓相似，m是相似比．
（Ⅰ）求過(guò)（且與橢圓相似的橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)過(guò)原點(diǎn)的一條射線l分別于（I）中的兩橢圓交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在線段OB上）．求|OA|•|OB|的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接根據(jù)定義得到有解得a，b．即可得到與橢圓相似的橢圓方程；
（2）先求出當(dāng)射線l的斜率不存在時(shí)求出結(jié)論；再對(duì)當(dāng)射線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程y=kx，聯(lián)立直線與兩個(gè)橢圓方程分別求出線段的長(zhǎng)度，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求出|OA|•|OB|的最大值和最小值．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)與相似的橢圓的方程，
有⇒．
所求方程是．…（6分）
（Ⅱ）當(dāng)射線l的斜率不存在時(shí)．
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)P（0，y），則y²=4，y=±2．即P（0，±2）．…（8分）
當(dāng)射線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程y=kx，P（x，y）
由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則得，
∴，
同理．…（10分）
當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，，
當(dāng)l的斜率存在時(shí)，，
∴4＜|OA|•|OB|≤8，
綜上，|OA|•|OB|的最大值是8，最小值是4．…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查直線和橢圓的位置關(guān)系，難度較大，解題時(shí)要仔細(xì)審題，注意公式的靈活運(yùn)用．