Question

在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為AD中點，F(xiàn)為B₁C₁中點．
（Ⅰ）求證：A₁F∥平面ECC₁；
（Ⅱ）在CD上是否存在一點G，使BG⊥平面ECC₁？若存在，請確定點G的位置，并證明你的結論；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，取BC中點M，連接AM，F(xiàn)M．
∵平行四邊形BB₁C₁C中，F(xiàn)、M分別是B₁C₁、BC的中點，
∴FM∥B₁B且FM=B₁B．…（2分）
∵正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁∥B₁B且AA₁=B₁B
∴FM∥A₁A且FM=A₁A，得四邊形AA₁FM是平行四邊形．
∴FA₁∥AM．
∵平行四邊形ABCD中，E為AD中點，M為BC中點，
∴AE∥MC且AE=MC．得四邊形AMCE是平行四邊形．…（4分）
∴CE∥AM，可得CE∥A₁F．
∵A₁F?平面ECC₁，EC?平面ECC₁，
∴A₁F∥平面ECC₁．…（6分）
（Ⅱ）結論：在CD上存在一點G，使BG⊥平面ECC₁
取CD中點G，連接BG…（7分）
在正方形ABCD中，DE=GC，CD=BC，∠ADC=∠BCD，
∴△CDE≌△BCG，得∠ECD=∠GBC．…（9分）
∵∠CGB+∠GBC=90°，所以∠CGB+∠DCE=90°，得BG⊥EC．…（11分）
∵CC₁⊥平面ABCD，BG?平面ABCD，∴CC₁⊥BG，
又∵EC∩CC₁=C．EC、CC₁⊆平面ECC₁．
∴BG⊥平面ECC₁．
故在CD上存在中點G，使得BG⊥平面ECC₁．…（13分）
分析：（I）利用平行四邊形和四棱柱的性質，證出FM∥A₁A且FM=A₁A，得四邊形AA₁FM是平行四邊形，從而FA₁∥AM．再根據(jù)平行四邊形ABCD中，E、M分別為AD、BC中點，得四邊形AMCE是平行四邊形，所以CE∥AM．由此可得CE∥A₁F，結合線面平行判定定理，得到A₁F∥平面ECC₁．
（II）取CD中點G，連接BG，利用正方形的性質結合三角形全等，可得BG⊥EC．由CC₁⊥平面ABCD，得CC₁⊥BG，結合線面垂直判定定理，得BG⊥平面ECC₁．說明在CD上存在中點G，使得BG⊥平面ECC₁．
點評：本題給出正四棱柱，求證線面平行并探索線面垂直，著重考查了空間線面垂直、平行的判定與性質等知識，屬于中檔題．