Question

在二項(xiàng)式（

x

-

2

x

）¹²的展開式中．
（Ⅰ）求展開式中含x³項(xiàng)的系數(shù)；
（Ⅱ）如果第3k項(xiàng)和第k+2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，試求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

專題：二項(xiàng)式定理

分析：（I）根據(jù)展開式中第r+1項(xiàng)的通項(xiàng)公式，求出展開式中含x³項(xiàng)的系數(shù)是多少；
（II）由第3k項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第k+2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，列出方程，求出k的值．

解答： 解：（I）展開式中第r+1項(xiàng)是
Tr+1=

C

r 12

x

12-r

2

(-

2

x

)r=(-2)r

C

r 12

x6-

3

2

r，…（3分）
令6-

3

2

r=3，
解得r=2；…（4分）
∴展開式中含x³項(xiàng)的系數(shù)為(-2)2

C

2 12

=264；…（6分）
（II）∵第3k項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為

C

3k-1 12

，
第k+2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為

C

k+1 12

；
∴

C

3k-1 12

=

C

k+1 12

，…（9分）
∴3k-1=k+1，或3k-1+k+1=12；
解得k=1，或 k=3．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問題，也考查了一定的邏輯推理與計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題目．