Question

已知各項均不相等的等差數列{a_n}的前四項和為10，

an

a3n

是一個與n無關的常數，數列{a_n}的前n項和為S_n．
（1）求數列{a_n}的通項公式及數列{

1

Sn

}的前n項和T_n；
（2）若a₁，a₂，a₄恰為等比數列{b_n}的前三項，記數列c_n=a_n（cosnπ+b_n），求{c_n}的前n項和為K_n．

Answer 1

分析：（1）利用等差數列的通項公式和前n項和公式及裂項求和即可求出；
（2）利用等比數列的前n項和公式即可求出．注意對n分奇偶討論．

解答：解（1）∵

an

a3n

是一個與n無關的常數，∴a₁=d．
又S4=4a1+

1

2

×4×3×d=10a1=10，∴a₁=1，
∴a_n=n，Sn=

n(n+1)

2

，
∴

1

Sn

=2(

1

n

-

1

n+1

)，
∴T_n=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=2(1-

1

n+1

)=

2n

n+1

．
（2）∵b₁=a₁=1，b₂=a₂=2，b3=a4=22是等比數列{b_n}的前3項，
∴bn=2n-1．
∴c_n=n（-1）ⁿ+n×2^n-1，
記An=-1+2-3+…+(-1)nn，
則An=

- n+1 2 ，當n為奇數時 n 2 ，當n為偶數時

，
B_n=1+2×2¹+3×2²+…n×2^n-1=（n-1）2ⁿ+1．
K_n=

(n-1)•2n- 1+n 2 ，當n為奇數時 (n-1)•2n+ n 2 ，當n為偶數時

．

點評：熟練掌握等差數列和等比數列的通項公式和前n項和公式是解題的關鍵．