Question

四面體ABCD中，已知AB=3cm，S_△ABC=15cm²，，面ABC與ABD所成的二面角為30°，則四面體的體積為

1. A.
   20cm³
2. B.
   10
3. C.
   20
4. D.
   30cm³

Answer 1

A
分析：設(shè)AD=BD，CA=CB，取AB中點O，連接DO，CO，則∠DOC=30°，由AB=3cm，S_△ABD=15cm²，S_△ABC=12cm²，知DO=10，CO=8，由此能求出四面體ABCD的體積．
解答：解：設(shè)AD=BD，CA=CB，取AB中點O，連接DO，CO，
則∠DOC為面ABC與ABD所成的二面角的平面角，
∴∠DOC=30°，
∵AB=3cm，S_△ABD=15cm²，S_△ABC=12cm²，
∴DO=10，CO=8，
作DE⊥OC，交OC于E，
∵DO⊥AB，CO⊥AB，
∴AB⊥平面DOC，
∴DE⊥AB，∴DE⊥平面ABC，
∴DE=，
∴四面體ABCD的體積V=S_△ABC×DE==20cm³．
點評：本題考查四面積的體積的求法，綜合性強，難度大，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．