Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，a_n+1+a_n=2n+5；
（1）求a₂，a₃，a₄的值；
（2）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）令T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+a_2n-1a_2n-a_2na_2n+1，求T_n的表達(dá)式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件，依次取n=1，n=2，n=3，利用遞推思想能求出a₂，a₃，a₄的值．
（2）由a_n+1+a_n=2n+5，得到a_n+2+a_n+1=2（n+1）+5，兩式相減，得到a_n+2-a_n=2，由此能求出{a_n}的通項(xiàng)公式．
（3）把T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+a_2n-1a_2n-a_2na_2n+1等價(jià)轉(zhuǎn)化為T_n=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_2n（a_2n-1-a_2n+1），再由{a_n}的通項(xiàng)公式能求出T_n的表達(dá)式．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=3，a_n+1+a_n=2n+5，
∴a₂=2×1+5-3=4，
a₃=2×2+5-4=5，
a₄=2×3+5-5=6．…（2分）
（2）依條件a_n+1+a_n=2n+5…①
a_n+2+a_n+1=2（n+1）+5…②
②-①得 a_n+2-a_n=2，
所以數(shù)列{a_n}奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)都成等差數(shù)列，并且公差均為2，
∴a_2k=4+2（k-1）=2k+2（k∈N^*），
a_2k-1=3+2（k-1）=2k+1=（2k-1）+2（k∈N^*）
綜合知：a_n=n+2…（7分）
（3）T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+a_2n-1a_2n-a_2na_2n+1
=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_2n（a_2n-1-a_2n+1）
=-2（a₂+a₄+…+a_2n）
=-2×

a2+a2n

2

n
=-2n²-6n．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要注意遞推思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用，是中檔題．