Question

已知雙曲線的左右兩個焦點分別是F₁，F₂，P是它左支上的一點，P到左準線的距離為d．
（1）若y=x是已知雙曲線的一條漸近線，是否存在P點，使d，|PF₁|，|PF₂|成等比數列？若存在，寫出P點坐標，若不存在，說明理由；
（2）在已知雙曲線的左支上，使d，|PF₁|，|PF₂|成等比數列的P點存在時，求離心率e的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）假設存在點P（x，y）滿足題中條件，根據漸近線方程求得a和b的關系，進而求得a和c的關系求得e；進而根據求得|PF₂|=2|PF₁|，求得準線方程，表示出|PF₁|和|PF₂|，根據雙曲線的定義可知|PF₁|=-（a+ex），|PF₂|=a-ex，進而求得x，代入雙曲線方程求得y，則P點坐標可得．
（2）根據雙曲線的定義可知|PF₁|=ed，|PF₂|=|PF₁|+2a=ed+2a，進而根據d，|PF₁|，|PF₂|成等比數列推斷（ed）²=ed²+2ad，將e=和P的坐標代入根據x₁≤-a，求得 a²+2ac-c²≥0整理后可求得離心率e的范圍．
解答：解：（1）假設存在點P（x，y）滿足題中條件．
∵雙曲線的一條漸近線為y=x，∴=，b=a，∴b²=3a²，c²-a²=3a²，e==2．
由=2得，
|PF₂|=2|PF₁|①
∵雙曲線的兩準線方程為x=±，
∴|PF₁|=|2x+2|=|2x+a|，|PF₂|=|2x-|=|2x-a|．
∵點P在雙曲線的左支上，
∴|PF₁|=-（a+ex），|PF₂|=a-ex，代入①得：a-ex=-2（a+ex），
∴x=-，代入雙曲線方程得y=±．
∴存在點P使d、|PF1|、|PF2|成等比數列，點P的坐標是（-，±）．
（2）|PF₁|=ed，
∵d，|PF₁|，|PF₂|成等比數列
∴（ed）²=ed²+2ad  由（1）得x₁=，將e=和P的坐標代入．．
因為x₁≤-a．整理可得 a²+2ac-c²≥0
兩邊同除c²．得e²-2e-1≤0．所以1-＜e＜+1
∵e＞1
∴e∈（1，1+）
點評：本題主要考查了雙曲線的應用．考查了學生綜合分析問題的能力．