Question

已知函數(shù)
（1）求f（x）的極．
（2）求證f（x）的圖象是中心對稱圖形．
（3）設(shè)f（x）的定義域為D是否存在[a，b]⊆D．當(dāng)x∈[a，b]時，f（x）的取值范圍是？若存在，求實數(shù)a、b的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由導(dǎo)數(shù)運算法則知，，再利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系解得即可；
（2）設(shè)P（x，f（x））為f（x）的圖象上一點，欲證f（x）的圖象是中心對稱圖形即證P關(guān)于的對稱點是還在圖形上，只須證明：即可；
（3）對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在實數(shù)a、b．再利用函數(shù)的單調(diào)性問題利用導(dǎo)數(shù)解決，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．
解答：解：（1）．（2′）注意到，得x∈（-∞，2）∪（4，+∞），
解得x=6或x=0．當(dāng)x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，0）		（0，2）	（4，6）	6	（6，+∞）
f′（x）	+		-	-		+
f（x）	↗	極大值	↘	↘	極小值	↗

所以是f（x）的一個極大值，是f（x）的一個極大值..（4′）
（2）點（0，f（0）），（6，f（6））的中點是，所以f（x）的圖象的對稱中心只可能是．（6′）
設(shè)P（x，f（x））為f（x）的圖象上一點，P關(guān)于的對稱點是．∵．
∴Q也在f（x）的圖象上，因而f（x）的圖象是中心對稱圖形．（8′）
（3）假設(shè)存在實數(shù)a、b．∵[a，b]⊆D，∴b＜2或a＞4．
若0≤b＜2，當(dāng)x∈[a，b]時，，而
∴．故此時f（x）的取值范圍是不可能是．（10′）
若4＜a≤6，當(dāng)x∈[a，b]時，，而
∴．故此時f（x）的取值范圍是不可能是．（12′）
若a＜b＜0或6＜a＜b，由g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，0），（6，+∞），
知a，b是的兩個解．而無解．
故此時f（x）的取值范圍是不可能是．（14′）
綜上所述，假設(shè)錯誤，滿足條件的實數(shù)a、b不存在．
點評：本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識，以及綜合運用上述知識分析問題和解決問題的能力，還考查了函數(shù)圖象中心對稱的性質(zhì)的應(yīng)用，即函數(shù)的對稱中心的坐標(biāo)是（a，b），則有2b=f（a+x）+f（a-x）對任意x均成立，由此恒等式進行求值．