Question

已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）是否存在正常數(shù)恒成立？如果存在，求出最小正數(shù)α，否則請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系，對f（x）求導(dǎo)后，再求解即可．
（2）令，又0≤x≤1，則≤t≤2，因此要使恒成立．
只需1-≤t≤2恒成立①．
法1：構(gòu)造函數(shù)g（t）=（t²-2）²-4α（t-2）-4≥0，在≤t≤2上恒成立，利用單調(diào)性求出g（t）的最小值，令其大于等于0．
法2：對①式中的α進(jìn)行參數(shù)分離，當(dāng)t=2時，顯然成立當(dāng)（t+2）恒成立，再求出相應(yīng)函數(shù)的最小值作比較．
解答：解：（1）由f（x）=知其定義域?yàn)椋?1≤x≤1
求導(dǎo)數(shù)得到f'（x）=（-）
 令f'（x）=0得到：x=0
在0≤x＜1時，f'（x）≤0
在-1＜x≤1時，f'（x）≥0
因此f（x）在[0，1]上為減函數(shù)，在[-1，0]上為增函數(shù)  …（6分）
（2）方法一：令，又0≤x≤1，則≤t≤2
因此要使恒成立．
只需1-≤t≤2恒成立．
即需g（t）=（t²-2）²-4α（t-2）-4≥0在t∈[，2]上恒成立．只需g（t）的最小值大于等于0
而g'（t）=4[t（t²-2）-α]在≤t≤2上單調(diào)遞增．
于是：g'（）≤g'（t）≤g'（2）
g'（）=-4α＜0．g'（2）=16-α
若g'（2）=16-α≤0，α≥4，則g（t）在t∈[，2]上為減函數(shù)．g（t）的最小值 g（2）=0，符合要求．
若g'（2）=16-α＞0，g（t）=（t²-2）²-4α（t-2）-4在t∈[，2]上先減后增． 
 又∵g（2）=0，存在t，g（t）＜0，不合題意．
因此存在這樣的正常數(shù)α，且求得α的最小值為4．  …（13分）
方法二：由解法1知只需1-≤t≤2上恒成立
當(dāng)t=2時，顯然成立當(dāng)（t+2）恒成立，
又（2+2）=4∴α≥4
即α最小值為4．   …（13分）
點(diǎn)評：本題考查了用函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系，求單調(diào)區(qū)間，求最值．考查不等式恒成立問題，用到了函數(shù)最值法、分離參數(shù)法．考查邏輯思維、計算、分析、轉(zhuǎn)化能力．