如圖所示,在四棱錐中,底面四邊形
是菱形,
,
是邊長為2的等邊三角形,
,
.
(Ⅰ)求證:底面
;
(Ⅱ)求直線與平面
所成角的大小;
(Ⅲ)在線段上是否存在一點(diǎn)
,使得
∥平面
?如果存在,求
的值,如果不存在,請說明理由.
(Ⅰ)略;(Ⅱ);(Ⅲ)存在,
=
【解析】
試題分析:(Ⅰ),所以
為
中點(diǎn)。因?yàn)榈冗吶切沃芯即為高線,等腰三角形底邊中線也為高線,可證得
,根據(jù)線面垂直的判定定理可得
底面
。(Ⅱ)直線
與平面
在圖中沒有標(biāo)示出交點(diǎn),故用空間向量法較簡單。根據(jù)底面為菱形和
底面
可建立以
為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系。求點(diǎn)
坐標(biāo)可根據(jù)
,得
,即可求點(diǎn)
的坐標(biāo),也可根據(jù)
求
。先求面
的法向量,此法向量與
所成角的余弦值的絕對(duì)值即為直線
與平面
所成角的正弦值。(Ⅲ)假設(shè)在線段
上存在一點(diǎn)
,使得
∥平面
。設(shè)
,可得點(diǎn)
坐標(biāo),在(Ⅱ)中以求出面
的法向量,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030505432253714612/SYS201403050544188652617073_DA.files/image021.png">∥平面
,所以
垂直與
的法向量,可求得
的值,若
說明假設(shè)成立,否則假設(shè)不成立。
試題解析:解:(Ⅰ)因?yàn)榈酌?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030505432253714612/SYS201403050544188652617073_DA.files/image009.png">是菱形,,
所以為
中點(diǎn).
1分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030505432253714612/SYS201403050544188652617073_DA.files/image029.png">,
所以,
3分[
所以底面
.
4分
(Ⅱ)由底面是菱形可得
,
又由(Ⅰ)可知.
如圖,以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系
.
由是邊長為2的等邊三角形,
,
可得.
所以.
5分
所以,
.
由已知可得
6分
設(shè)平面的法向量為
,則
即
令,則
,所以
.
8分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014030505432253714612/SYS201403050544188652617073_DA.files/image047.png">, 9分
所以直線與平面
所成角的正弦值為
,
所以直線與平面
所成角的大小為
.
10分
(Ⅲ)設(shè),則
.
11分
若使∥平面
,需且僅需
且
平面
, 12分
解得,
13分
所以在線段上存在一點(diǎn)
,使得
∥平面
.
此時(shí)=
.
14分
考點(diǎn):線面平行、線面垂直、線面角、空間向量法解立體幾何,考查空間想象能力、邏輯思維能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年福建省、二中高三上學(xué)期期末聯(lián)考文科數(shù)學(xué)卷(解析版) 題型:解答題
如圖所示,在四棱錐中,底面ABCD是邊長為a的正方形,側(cè)面
底面ABCD,且
,若E,F分別為PC,BD的中點(diǎn).
(1)求證:平面PAD;
(2)求證:平面PDC平面PAD;
(3)求四棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年廣東省湛江市高三8月第一次月考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分14分)如圖所示,在四棱錐中,
平面
,
,
,
,
是
的中點(diǎn).
(1)證明:平面
;
(2)若,
,
,求二面角
的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年福建省高三第二次質(zhì)檢理科數(shù)學(xué) 題型:解答題
如圖所示,在四棱錐中,底面ABCD是矩形,
,
,
,
, 垂足為
,
(1)求證:;
(2)求直線與平面
所成角的余弦值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011云南省高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué) 題型:解答題
本小題滿分12分)如圖所示,在四棱錐中,
平面
,底面
是直角梯形,
,
。
(1)求證:平面平面
;
(2)若,求二面角
的大小。
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