Question

 如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF且BE＜CF,

∠BCF=，AD=，EF=2.

（Ⅰ）求證： AE∥平面DCF；

（Ⅱ）設，當取何值時，二面角A—EF—C的大小為？

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 本題主要考查空間線面的位置關系，考查空間角的計算，考查空間想象能力和推理論證能力，同時也可考查學生靈活利用圖形，建立空間直角坐標系，借助向量工具解決幾何問題的能力．滿分13分．

解：（I）解法一：∵ 四邊形ABCD是矩形，

                   ∴AB∥DC  ．  ………………    1分

              又∵ BE∥CF ， AB∩BE=B，

           ∴平面ABE∥平面DCF ．    …………   3分

              又AE平面ABE，

             ∴AE∥平面DCF ．          ………   5分

     解法二：過E作EG∥BC交FC于G，連結DG ，  ………1分

           ∵BE∥CF ，                     

       ∴四邊形BCGE是平行四邊形 ，         

        ∴EG∥BC∥AD，且EG=BC=AD，

       ∴四邊形ADGE也是平行四邊形 ，         ………3分

         ∴AE∥DG  ．又AE平面DCF，DG平面DCF ，

       　 ∴AE∥平面 DCF ．                     ………5分

（II）解法一： 過E作GE⊥CF交CF于G，

    由已知  EG∥BC∥AD，且EG=BC=AD，

    ∴EG=AD＝，又EF=2，   ∴GF=1 ．      ………………6分

∵四邊形ABCD是矩形， ∴DC⊥BC ．

∵∠BCF=，　∴FC⊥BC，

又平面AC⊥平面BF，平面AC∩平面BF=BC，

∴FC⊥平面AC ， ∴FC⊥CD ．                 …………7分

 分別以CB、CD、CF為軸建立空間直角坐標系．

設BE=m，由，得AB=m�。�

∴ A（，m，0）,E(，0，m),F(0，0，m+1)，

∴=(0，-m ，m)，=（-,0,1）． …………8分

設平面AEF的法向量=(x，y，z)，

由·=0，· =0，得，∴ ，

令=，可得平面AEF的一個法向量=( ，， )．   ………10分

又=（0，m，0）是平面CEF的一個法向量,

 ∴     ,即， 解得=．

∴當的值為時，二面角A—EF—C的大小為 ．    ………………13分

解法二：過E作GE⊥CF交CF于G，

    由已知EG∥BC∥AD，且EG=BC=AD，

     ∴EG=，又EF=2， ∴sin∠EFG= ．　　　……………6分

    　∵四邊形ABCD是矩形，   ∴AB⊥BC 

 又平面AC⊥平面BF，平面AC∩平面BF=BC，

∴AB⊥平面BF ．

過B作BM⊥FE交EF于M，連結AM，

則∠AMB為二面角A—EF—C的平面角，      ……… 8分

∴∠AMB= ．

由已知 ，設BE=m，則AB=m　，

∴BM= BE·sin∠MEB =BE·sin∠EFG= m .   ………………10分

在Rt△ABM中，tan=,∴=,∴ ＝.

∴當的值取時，二面角A—EF—C的大小為 .  ………………13分