如圖,已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,M、N分別是AB、PC的中點(diǎn).
求證:MN⊥AB.
證明:連結(jié)AC,取AC中點(diǎn)F,連結(jié)ME、NF,則NE∥PA,NE⊥平面ABCD, ∴NB⊥AB. ∵M(jìn)E∥BC,BC⊥AB,∴ME⊥AB. ∴AB⊥面MNE. ∴MN⊥AB. 規(guī)律總結(jié):要證明兩條直線垂直,常有以下方法: (1)兩條直線垂直的定義,即求出兩條直線所成的角是直角; (2)證線面垂直,如本題; (3)利用結(jié)論:一條直線與兩條平行線中的一條垂直,則它垂直于另一條直線. |
題中給出的M、N分別是AB、PC的中點(diǎn),那么不妨再加一個(gè)中點(diǎn)把它們聯(lián)系起來(lái),連結(jié)AC,取AC的中點(diǎn)E,連結(jié)ME、NE,△MNE具有很好的性質(zhì),它的兩條邊分別是所在三角形的中位線.欲證線線垂直,先證線面垂直,也就是要證AB⊥面MNE,這就要轉(zhuǎn)化為證AB與面MNE內(nèi)兩條相交直線ME、NE垂直. |
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