Question

統(tǒng)計(jì)表明某型號(hào)汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量y（升）關(guān)于行駛速度x（千米/小時(shí)）的函數(shù)為y=

1

128000

x3-

3

80

x+8(0＜x＜120)．
（1）當(dāng)x=64千米/小時(shí)時(shí)，要行駛100千米耗油量多少升？
（2）若油箱有22.5升油，則該型號(hào)汽車最多行駛多少千米？

Answer 1

分析：（1）當(dāng)x=64千米/小時(shí)時(shí)，要行駛100千米需要

100

64

=

25

16

小時(shí)．即可得出耗油（(

1

128000

×643-

3

80

×64+8)×

25

16

（升）．
（2）設(shè)22.5升油該型號(hào)汽車可行駛a千米，可得(

1

128000

x3-

3

80

•x+8)×

a

x

=22.5，于是a=

22.5

1 128000 •x2+ 8 x - 3 80

，利用導(dǎo)數(shù)研究分母的單調(diào)性，求出最小值即可．

解答：解：（1）當(dāng)x=64千米/小時(shí)時(shí)，要行駛100千米需要

100

64

=

25

16

小時(shí)
需要耗油（(

1

128000

×643-

3

80

×64+8)×

25

16

=11.95（升）
（2）設(shè)22.5升油該型號(hào)汽車可行駛a千米，由題意得(

1

128000

x3-

3

80

•x+8)×

a

x

=22.5
∴a=

22.5

1 128000 •x2+ 8 x - 3 80

設(shè)h(x)=

1

128000

x2+

8

x

-

3

80

則當(dāng)h（x）最小時(shí)，a取最大值，
由h′(x)=

1

64000

x2-

8

x2

=

x3-803

64000x2

，
令h'（x）=0⇒x=80當(dāng)x∈（0，80）時(shí)，h'（x）＜0，當(dāng)x∈（80，120）時(shí)，h'（x）＞0．
故當(dāng)x∈（0，80）時(shí)，函數(shù)h（x）為減函數(shù)，當(dāng)x∈（80，120）時(shí)，函數(shù)h（x）為增函數(shù)．
∴當(dāng)x=80時(shí)，h（x）取得最小值，此時(shí)a取最大值為a=

22.5

1 128000 ×802+ 8 80 - 3 80

=200．
答：若油箱有22.5升油，則該型號(hào)汽車最多行駛200千米．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了函數(shù)模型的應(yīng)用、時(shí)間速度與路程的關(guān)系、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．