Question

已知拋物線C：x²=2py（p＞0），設(shè)直線AB：2x-y-1=0切拋物線于點A，交y軸于點B，且D為AB中點．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）若過點D作直線l交拋物線于不同的兩點M，N，直線BM，BN分別交拋物線于另一點P，Q，是否存在直線l，使△DPQ的面積為

1

8

，若存在，求出所有符合條件的直線l的方程；否則，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由

y=2x-1 x2=2py

，得x²-4px+2p=0，由此利用根的判別式能求出拋物線方程．
（II）由已知得A（1，1），B（0，-1），D(

1

2

，0)，設(shè)點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線l：y=k(x-

1

2

)，由

y=k(x- 1 2 ) x2=y

⇒x2-kx+

1

2

k=0，得x1x2=

k

2

，x1+x2=k，設(shè)直線BM方程為y=

y1+1

x1

x-1，從而p(

1

x1

，

1

x12

)，同理Q(

1

x2

，

1

x22

)，由此能求出直線l的方程．

解答： （本題滿分15分）
解：（Ⅰ）由

y=2x-1 x2=2py

，得x²-4px+2p=0，
∵直線AB：2x-y-1=0切拋物線于點A，
∴△=16p2-8p=0⇒p=

1

2

，
得拋物線方程為x²=y． …（5分）
（II）解方程組

y=2x-1 x2=y

得切點A（1，1），
解方程組

y=2x-1 x=0

，得B（0，-1），∴D(

1

2

，0)，
設(shè)點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線l：y=k(x-

1

2

)，
由

y=k(x- 1 2 ) x2=y

⇒x2-kx+

1

2

k=0，得x1x2=

k

2

，x1+x2=k，
設(shè)直線BM方程為y=

y1+1

x1

x-1，
則

y= y1+1 x1 x-1 x2=y

⇒x2-

y1+1

x1

x+1=0，
所以x₁x_p=1，xp=

1

x1

，p(

1

x1

，

1

x12

)，同理Q(

1

x2

，

1

x22

)，
∴kPQ=

1 x12 - 1 x22

1 x1 - 1 x2

=

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=2，…（10分）
則設(shè)PQ方程為y-

1

x12

=2(x-

1

x1

)，即y=2x-

2

x1

+

1

x12

，
由

y=2x- 2 x1 + 1 x12 x2=y

⇒x2-2x+

2

x1

-

1

x12

=0，
∴|PQ|=

5

4- 8 x1 + 4 x12

=2

5

|1-

1

x1

|，
點D到直線PQ的距離d=

|1- 2 x1 + 1 x12 |

5

=

(1- 1 x1 )2

5

，
∴S△DPQ=

1

2

•2

5

|1-

1

x1

|•

(1- 1 x1 )2

5

=

1

8

⇒1-

1

x1

=±

1

2

，
得x1=

2

3

，y1=

4

9

；x2=2，y2=4，
即M(

2

3

，

4

9

)或M（2，4），kMD=

8

3

，
∴直線l的方程為8x-3y-4=0．…（15分）

點評：本題考查拋物線方程的求法，考查滿足條件的直線方程是否存在的判斷與求法，解題時要認(rèn)真審題，注意點到直線的距離公式的合理運用．