Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

3

，a_n+1=a_n+

a 2 n

n2

（n∈N^*）．證明：對(duì)一切n∈N^*，有
（Ⅰ）

an+1-an

an+1an

＜

1

n2

；
（Ⅱ）0＜a_n＜1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知得a_n＞0，a_n+1=a_n+

a 2 n

n2

＞0（n∈N^*），a_n+1-a_n=

an2

n2

＞0，由此能證明對(duì)一切n∈N^*，

an+1-an

an+1an

＜

1

n2

．
（Ⅱ）由已知得

1

ak

-

1

ak+1

＜

1

k2

，當(dāng)n≥2時(shí)，

1

an

=

1

a1

-

n-1

k=1

(

1

ak

-

1

ak+1

)＞

1

a1

-

n-1

k=1

1

k2

＞

n

n-1

＞1，由此能證明對(duì)一切n∈N^*，0＜a_n＜1．

解答： 證明：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

3

，a_n+1=a_n+

a 2 n

n2

（n∈N^*），
∴a_n＞0，a_n+1=a_n+

a 2 n

n2

＞0（n∈N^*），a_n+1-a_n=

an2

n2

＞0，
∴an+1＜an+

an•an+1

n2

，
∴對(duì)一切n∈N^*，

an+1-an

an+1an

＜

1

n2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，對(duì)一切k∈N^*，ak+1=ak+

ak2

k2

＜ak+

1

k2

akak+1，
∴

1

ak

-

1

ak+1

＜

1

k2

，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，

1

an

=

1

a1

-

n-1

k=1

(

1

ak

-

1

ak+1

)＞

1

a1

-

n-1

k=1

1

k2

＞3-[1+

n-1

k=1

1

k(k-1)

]
=3-[1+

n-1

k=1

(

1

k-1

-

1

k

)]
=3-（1+1-

1

n-1

）
=

n

n-1

＞1，
∴a_n＜1，又a1=

1

3

＜1，
∴對(duì)一切n∈N^*，0＜a_n＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，是中檔題，解題時(shí)要注意裂項(xiàng)求和法和放縮法的合理運(yùn)用，注意不等式性質(zhì)的靈活運(yùn)用．