Question

如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=

2

，∠BAD=90°，∠BCD=45°，E為對(duì)角線BD的中點(diǎn)．現(xiàn)將△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使平面PBD⊥平面BCD，如圖2．
（Ⅰ）求證直線PE⊥平面BCD；
（Ⅱ）求異面直線BD和PC所成角的余弦值；
（Ⅲ）已知空間存在一點(diǎn)Q到點(diǎn)P，B，C，D的距離相等，寫出這個(gè)距離的值（不用說(shuō)明理由）．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由等腰三角形的性質(zhì)得PE⊥BD，由平面PBD⊥平面BCD，能證明直線PE⊥平面BCD．
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求異面直線BD和PC所成角的余弦值；
（Ⅲ）設(shè)Q（x，y，z），由存在一點(diǎn)Q到點(diǎn)P，B，C，D的距離相等，利用空間向量?jī)牲c(diǎn)間距離公式求出Q（0，1，0），由此能求出這個(gè)距離．

解答： （Ⅰ）證明：∵E為BD的中點(diǎn)，PB=PD，
∴PE⊥BD，
∵平面PBD⊥平面BCD，且平面PBD∩平面BCD=BD，
PE?平面PBD，
∴直線PE⊥平面BCD．
（Ⅱ）解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，
依題意得E（0，0，0），B（1，0，0），C（-1，2，0），D（-1，0，0），P（0，0，1），
∴

BD

=（-2，0，0），

PC

=（-1，2，-1），
∴cos＜

BD

，

PC

＞=

2

2 6

=

6

6

，
∴異面直線BD和PC所成角的余弦值為

6

6

（Ⅲ）空間存在一點(diǎn)Q到點(diǎn)P，B，C，D的距離相等，這個(gè)距離的值為

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查平面與平面垂直的證明，考查距離的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．