Question

由于空氣污染嚴(yán)重，某工廠生產(chǎn)了兩種供人們外出時(shí)便于攜帶的呼吸裝置，其質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)劃分：指標(biāo)大于等于88為優(yōu)質(zhì)產(chǎn)品．現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩種裝至各100件進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：

測(cè)試指標(biāo)分組		[70，76）	[76，82）	[82，88）	[88，94）	[94，100]
頻 數(shù)	裝置甲	8	12	40	32	8
	裝置乙	7	18	40	29	6

（Ⅰ）試分別估計(jì)裝置甲、裝置乙為優(yōu)質(zhì)品的概率；
（Ⅱ）設(shè)該廠生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤率y與其質(zhì)量指標(biāo)t的關(guān)系式為y=

-2，t＜76 2，76≤t＜88 4，t≥88

，根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，估計(jì)生產(chǎn)一件裝置乙的利潤率大于0的概率，若投資100萬生產(chǎn)裝置乙，請(qǐng)估計(jì)該廠獲得的平均利潤；
（Ⅲ）若投資100萬，生產(chǎn)裝置甲或裝置乙中的一種，請(qǐng)分析生產(chǎn)那種裝置獲得利潤的數(shù)學(xué)期望較大．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差

專題：綜合題,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（I）根據(jù)頻數(shù)，求比值，得到估計(jì)裝置甲、裝置乙為優(yōu)質(zhì)品的概率；
（II）根據(jù)題意得到變量對(duì)應(yīng)的數(shù)字，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件寫出變量對(duì)應(yīng)的概率，可得數(shù)據(jù)的期望值；
（Ⅲ）比較生產(chǎn)裝置甲或裝置乙的期望值，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）裝置甲為優(yōu)質(zhì)品的概率

32+8

100

=0.4、裝置乙為優(yōu)質(zhì)品的概率

29+6

100

=0.35；
（Ⅱ）設(shè)乙的利潤率為ξ，則ξ的可能取值為-2，2，4，
P（ξ=-2）=0.07，P（ξ=2）=0.58，P（ξ=4）=0.35，
∴生產(chǎn)一件裝置乙的利潤率大于0的概率為P（ξ＞0）=P（ξ=2）+P（ξ=4）=0.58+0.35=0.93，
Eξ=-2×0.07+2×0.58+4×0.35=2.42，
∴投資100萬生產(chǎn)裝置乙，估計(jì)該廠獲得的平均利潤為242萬；
（Ⅲ）設(shè)甲的利潤率為η，則η的可能取值為-2，2，4，
P（η=-2）=0.08，P（ξ=2）=0.52，P（ξ=4）=0.4，
∴Eη=-2×0.08+2×0.52+4×0.4=2.48，
∵Eη＞Eξ，
∴生產(chǎn)甲種裝置獲得利潤的數(shù)學(xué)期望較大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查隨機(jī)抽樣和樣本估計(jì)總體的實(shí)際應(yīng)用，考查頻數(shù)，頻率和樣本容量之間的關(guān)系，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，本題是一個(gè)綜合問題．