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如圖（1），等腰直角三角形的底邊，點在線段上，于，現將沿折起到的位置（如圖（2））．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若，直線與平面所成的角為，求長．

 

【答案】

（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）要證線線垂直，可先考慮純線面垂直，要證線面垂直，先找出圖中的線線垂直，使結論得證；（Ⅱ）為方便利用直線與平面所成的角為，可建立空間直角坐標系，利用空間向量相關計算公式建立關于長度的方程，解之即可.

試題解析：（Ⅰ），，，平面，

又，；

（Ⅱ），

分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系（如圖）

設，則，，，

可得 ，

設平面的法向量，，令，可得，因此是平面的一個法向量，，與平面所成的角為，，即，

解之得：，或（舍），因此可得的長為．

考點：直線與平面的位置關系、空間向量的應用.

 

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•豐臺區(qū)二模）如圖（1），等腰直角三角形ABC的底邊AB=4，點D在線段AC上，DE⊥AB于E，現將△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如圖（2））．
（Ⅰ）求證：PB⊥DE；
（Ⅱ）若PE⊥BE，直線PD與平面PBC所成的角為30°，求PE長．

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科目：高中數學 來源：2014屆江蘇省高三開學檢測文科數學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖（1），等腰直角三角形的底邊，點在線段上，于，現將沿折起到的位置（如圖（2））．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若，直線與平面所成的角為，求長．

 

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科目：高中數學 來源：2014屆陜西省高二下學期期中考試文科數學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖（1）是等腰直角三角形，其中，分別為 的中點，將沿折起，點的位置變?yōu)辄c，已知點在平面上的射影為的中點，如圖（2）所示．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求三棱錐的體積．

 

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科目：高中數學 來源：2013年北京市豐臺區(qū)高考數學二模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖（1），等腰直角三角形ABC的底邊AB=4，點D在線段AC上，DE⊥AB于E，現將△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如圖（2））．
（Ⅰ）求證：PB⊥DE；
（Ⅱ）若PE⊥BE，直線PD與平面PBC所成的角為30°，求PE長．

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