Question

過橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的左焦點作直線交橢圓于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，若x₁+x₂=-1，則|AB|的值為

 

．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設直線AB：y=k（x+1），聯(lián)立橢圓方程，消去y得，（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，運用韋達定理，由條件x₁+x₂=-1，求得k，再由弦長公式|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

，即可得到答案．

解答： 解：橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的左焦點為（-1，0），
設直線AB：y=k（x+1），聯(lián)立橢圓方程，消去y得，
（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
則x₁+x₂=

-8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

，
由x₁+x₂=-1，則k²=

3

4

，x₁x₂=

3-12

3+3

=-

3

2

．
則|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+ 3 4

•

1+4× 3 2

=

7

2

．
故答案為：

7

2

．

點評：本題考查橢圓的方程和性質，考查聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去一個未知數(shù)，運用韋達定理和弦長公式解題，考查運算能力，屬于中檔題．